Wie beweise ich das f diagonalisierbar ist?

Question

Aufgabe:

Gegeben: f: V->V mit f^2 = id_v (V ist K-Vektorraum) ist ein Endomorphismus. f hat Außerdem die Eigenwerte 1, -1

Nun soll bewiesen werden das f Diagonalisierbar ist. Dazu bekommen wir noch die Vorausetzung das im Körper K 1+1 != 0 ist.

Problem/Ansatz:

Aus dem Skript weiß ich das f diagonalisierbar ist wenn eine Basis aus Eigenvektoren von f existiert. Das gilt es also zu zeigen. Ich weiß nur nicht wirklich wie ich da heran gehen da ich in dem Thema nicht 100%ig durchblicke. Ich bitte hier nicht um das Vorrechnen der Aufgabe lediglich um einen Ansatz das wäre super.

Comments

Wie bewiese ich das f diagonalisiebar ist?

Hm... mindestens vier Fehler in der kurzen Überschrift...

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^^ danke für den Hinweis :). Bin in Rechtschreibung scheinbar genauso bad wie in Algebra :/

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Na, mach dir nichts draus, jeder hat seine Baustellen. Die Frage ist aber gut gestellt!

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Was ich noch vergessen hatte dazuzuschreiben ist das wir aus der vorherigen Aufgabe den f invarianten UVR [v,f(v)] gegeben haben.

Answer 1

Für beliebiges \(v\in V\) gilt \(f(f(v)+v)=id(v)+f(v)=f(v)+v\), d.h.

\(f(v)+v\) ist Eigenvektor zum Eigenwert 1.

Ferner gilt \(f(f(v)-v)=id(v)-f(v)=-(f(v)-v)\), also ist

\(f(v)-v\) Eigenvektor zum Eigenwert -1.

Nun bedenke \(v=\frac{1}{2}\cdot ((f(v)+v)-(f(v)-v))\).

Kannst du daraus etwas schließen ?

Comments

Bedeutet das dann, dass die Eignenvektoren im f invarianten UVR [v,f(v)] liegen, somit eine Basis dieses UVR´s sind und somit auch eine Basis von V da Eigenvektoren von verschiedene Eigenwerten stets linear Unabhängig sind?

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Nicht so kompliziet !

Es bedeutet, dass jeder Vektor aus \(V\) als Summe von

Eigenvektoren geschrieben werden kann, dass die Eigenvektoren also ein

Erzeugendensystem von \(V\) bilden und man darin natürlich eine

Basis findet.

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Achsoooo ist das. Ok Verstehe danke dir.
Könntest du mir noch Knapp erklären wie du auf du die Eigenvektoren Hergeleitet hast. Da verstehe ich noch nicht wie du das mit der def. f(v) =  λv hergeleitet hast. Achso oder hast du die Def. von lin. unabh. EV benutzt?

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Ich habe das nicht hergeleitet, sondern eher intuitiv

erraten. Nun, wenn man schon länger in der Mathematik steckt,

hat man irgendwann einen guten Riecher.

Und dass es Eigenvektoren sind, habe ich ja nachgewiesen.

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Achso ok trotzdem vielen Dank für deine Hilfe.