Aufgabe: Auf einer 184 cm2 großen Petrischale wird eine Bakterienkolonie entdeckt, die 14, 72 cm2 also 8 % der Petrischale bedeckt. Am nächsten Tag bedeckt die Kolonie bereits 14,5 % der Petrischale.
(a) Berechnen Sie, wie viel Fläche die Bakterienkolonie nach 3 bzw. 8 Tagen eingenommen hat, wenn exponentielles Wachstum zugrunde gelegt wird. Geben Sie dafür eine geeignete explizite und rekursive Darstellung der Folge (an)n an.
(b) Erstellen Sie eine Wertetabelle für n ∈ {0,1,...,5}, und fertigen Sie eine Skizze auf Karopapier an.
(c) Ist dieses Modell realistisch? Begründen Sie Ihre Antwort.
(d) Wie groß ist die Fläche, die die Bakterienkolonie nach 5 Tagen eingenommen hat, wenn logistisches Wachstum mit q = 1, 88 zugrunde gelegt wird?
Ergänzen Sie nun Ihre Wertetabelle und zeichnen Sie die Werte der Folge (bn)n für n ∈ {0, 1, . . . , 5} mit einer anderen Farbe in Ihre Zeichnung aus (b) ein.
Hinweis: Nutzen Sie die am Anfang der Aufgabe gegebenen Rahmenbedingungen.
(*) Möchte man eine Folge mit logistischen Wachstum statt mit exponentiellen modellieren, kann man nicht dasselbe q für beide Modelle verwenden. Zeigen Sie rechnerisch, wie man auf den Wert q = 1,88 für das logistische Modell kommen kann.
Problem/Ansatz:
Für a) und b) habe ich ausgerechnet:
rekursiv: an=an-1*1,065
explizit: an= a0*1,065^n
| n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 8 |
| a | 8% | 14,5% | 21,42% | 28,79% | 36,65% | 45,01% | 73,5 |
Bei c) wüsste ich nicht wirklich warum es nicht realistisch sein soll und bei d) weiß ich generell nicht wie ich vorgehen soll bei logarithmen. Müsste ich da einfach das neue q in die explizite Formel einsetzen? Wie komme ich auf q=1,88?
