Momentane Änderungsrate?Wachstum der Bakterienkultur f(t)= 5*1.1^t

Question

Ich hab in einer Bakterienkultur folgenden Wachstum: f(t)= 5*1.1^t 

Jetzt soll ich die momentane Änderungsrate errechnen und zwar wann diese erstmals 10cm^2 pro Woche betrug. Wobei die Einheit von t Tage beträgt.

Danke schonmal für Antworten! :) 

Answer 1

Hi,

Edit: Das "pro Woche" übersehen.

Bezogen auf den Ansatz die folgende Gleichung zu lösen: 

$$ f(t+7) - f (t) \geq 10 $$

Damit berechnest du den Tag ab dem wirklich in einer Woche ein mindest zuwachs von 10 cm² zu beobachten ist. (Insbesondere entspricht dies der durchschnittlichen Rate)

Da es hier aber um die momentane Änderungsrate geht betrachte folgende 2 Ansätze:

1) Umskalierung der Funktion von Tagen auf Wochen:

$$ g(w) = 5.5 \cdot 1.1^{7w} $$

\(w\) besitzt die Einheit (Wochen). Nun ist \(t\) zu berechnen mit \( g'(w) = 10\). Hinterher kann man auch die Lösung in Tagen angeben.

2) 10 cm² pro Woche entspricht ja 10/7 cm² pro Tag. Suche also \(t\) mit 

$$ f'(t) = \frac{10}{7} $$

Edit: Fehler berichtigt, es sollte nicht f(7) in der 3. Zeile heißen.

Gruß

Comments

Hallo Yakyu,

stimmt das so? Brauch ich nicht eher t₁ und t₂ mit t₂ - t₁=7 derart, dass f(t₂)-f(t₁) >=10.

Für Dein Beispiel hiesse das dann g(t) = f(t) - f(t-7) und dann g'(t)=10.

Gruß

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Hey Snoop, tatsächlich habe ich das "pro Woche" überlesen. Ich passe meine Antwort an sobald ich dazu komme.

So habe es angepasst. Hoffe das hilft dir weiter :).

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Ich habe die Frage nicht gestellt, wollte nur darauf hinweisen :-)

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Achso ok :), dir sei gedankt.

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Hallo Yakyu,

was ich mich noch Frage (ich weiss ist schon lange her, kam aber nicht zum schreiben):

zum ursprünglichen Ansatz 

$$ f(t+7) - f(t) \geq 10 $$  wäre der korrekte Ansatz, oder?

zu  2)  und ich glaube das betrifft 1) in ähnlicher Weise

Bei diesem Lösungsansatz bekomme ich zwar den Tag, an dem das durchschnittliche Wachstum, welches ich für die gesuchte Woche brauche, erreiche, dennoch fehlt mir der Tag an dem die Woche beginnt bzw. endet. Der errechnete Tag liegt lediglich innerhalb dieser Woche - in dieser Woche muss das durchschnittliche Wachstum ja erreicht und überschritten werden - jedoch kann ich damit die Frage nicht beantworten. 

Bitte korrigiere mich falls ich falsch liege.

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Hi Snoop, 

wie oben beschrieben wäre der von dir erwähnte Ansatz für das durchschnittliche Wachstum geeignet und nicht für die momentane Änderungsrate wie in der Aufgabe gefordert. 1) und 2) beschreiben im Grunde den gleichen Ansatz für die mom. Änderungsrate (sie unterscheiden sich nur gering).

Zu deinem Ansatz:

Du errechnest hierbei den Tag, an dem die Woche beginnt, in der ein durchsch. Wachstum von 10 cm² pro Woche erreicht wird.

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Ich will hier eigentlich kein Diskussionsforum starten, jedoch habe ich nicht verstanden ob und wie ich Dir eine PN schicken kann. Daher noch einmal hier. Ich möchte das endlich richtig verstehen. Entweder wir reden aneinander vorbei oder ich stehe so richtig auf dem Schlauch :-(.

Du hattest oben statt f(t) einmal f(7) geschrieben. Daher hatte ich nochmal die Formel des ursprünglichen Ansatzes gepostet.

Zu meinem Problem:

Die Aufgabe habe ich so verstanden, dass man berechnen soll wann erstmals in einer Woche, d.h. einem Zeitraum von 7 Tagen, das entsprechende Wachstum aufgetreten ist/auftreten wird. Da jedoch das Wachstum innerhalb einer Woche nicht konstant ist, kann sich das ja nur auf ein durchschnittliches Wachstum über die einzelnen Tage beziehen.

zu 1) und 2) angenommen die Lösung des Ansatzes ist t_w. Wie lautet dann die Antwort auf die Fragestellung? Ist es dann die Woche von t_w bis t_w+6? Der früheste Zeitraum von 7 Tagen in denen aber die geforderte Wachstumsrate erreicht wird, ist aber von t_w-x bis t_w+6-x, nämlich dann, wenn die ersten Tage noch unter der durschnittlichen Wachstumsrate liegen, die nachfolgenden aber darüber und daher im Schnitt die Woche die Anforderung erfüllt.

Also auf den Punkt gebracht:

Frage: In welcher Woche wird erstmals ein Wachstum von x erreicht?

Wie kann ich mit dem aus 1) oder 2) berechneten t diese Woche angeben. Ich weiss doch lediglich, dass das gesuchte t innerhalb dieser Woche (des Intervalls) liegt.

Die Woche die mit diesem t startet liegt aber definitiv über der geforderten Rate, da jede nachfolgendeTagesrate über dem nötigen Tagesschnitt liegt.

Hoffe es geht Dir noch nicht allzu sehr auf Geist :-).

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Kein Problem für angebrachte Diskussionen stehe ich gerne zur Verfügung. Jetzt habe ich dein vorigen Kommentar auch besser verstanden. Nun zu deinem letzten:

@PN: Diese Möglichkeit gibt es hier nicht.

@f(7): Das ist mir in der Tat nicht aufgefallen (das ich versehentlich f(7) geschrieben habe), natürlich ist f(t) gemeint, habe wohl nen schlechten Tag gehabt.

@Aufgabenstellung: Da steht wortwörtlich momentane Änderungsrate und diese entspricht hier ja grade nicht dem durchschnittlichen Wachstum.

@t_w; Wenn es um die momentane Änderungsrate geht, dann wäre die Bedeutung, dass an dem Zeitpunkt t_w die momentane Änderungsrate 10 cm² pro Woche erreicht wird (ursprünglich pro Tag, deswegen die Ansätze 1) und 2) um auf Wochen umzurechnen). Das hat nichts damit zu tun, dass ab dem Zeitpunkt t_w eine Woche lang die Baktierienkultur um 10 cm² wächst. Es geht nur um die momentane Wachstumsgeschwindigkeit (diese ist wie du selbst festgestellt hast nicht konstant). 

@ Frage:

Das ist ja nicht die Aufgabenstellung sondern eine ganz andere und für diese greift dein Ansatz. Aus 1) und 2) lässt sich dies nicht berechnen. Dass der Zeitpunkt t_w in dieser besagten Woche liegt ist klar, da die Funktion nicht konstant steigt, insbesondere konvex ist, sollte es auch klar sein, dass in dieser besagten Woche das Wachstum der Bakterien zu Beginn unter der durchschnittlichen Wachstumsgeschwindigkeit liegt und nach t_w oberhalb.

Fazit: Wenn ich dich mit dem f(7) verwirrt habe, so kann ich das nachvollziehen :).

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Ha, danke. Hat gerade klick gemacht, was Deine Interpretation der Aufgabenstellung angeht. 

Die momentane Rate (eines Tages) hoch gerechnet auf eine Woche soll x sein. Wenn man es so versteht, hast Du selbstverständlich recht.

Da verstehe ich aber die Aufgabenstellung nicht. Dann hätte ich auch einfach nach dem Tag mit dem 7tel von x fragen können. Das verwirrt nur, wie man bei mir sieht.

Mein Verständnis ist immer noch so, dass nach der ersten Woche gefragt wird, in der die genannte Rate insgesamt entsprechend ist, bzw. wie die komplette "momentane" Änderungsrate der nächsten 7 Tage in Abhängigkeit von t ist.

Aber ich habe Dich endlich verstanden :-). (glaube ich)

Wäre gespannt, welche Lösung seitens des Aufgabensteller am Ende die richtige war/ist.

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Die momentane Rate (eines Tages) hoch gerechnet auf eine Woche soll x sein

Ja das ist die Aufgabe :).

Dann hätte ich auch einfach nach dem Tag mit dem 7tel von x fragen können. (bzgl mom. Änderungsrate)

Das wäre der Ansatz 2).

Wäre gespannt, welche Lösung seitens des Aufgabensteller am Ende die richtige war/ist.

Ich denke es ist naheliegend welcher Ansatz der richtige ist, wenn nach einer mom. Änderungsrate gefragt wird :).

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Hmm, jetzt wird es etwas philosophisch :-).

Du schreibst in der Aufgabe gehe es um die momentane Tagesrate einfach hochmultipliziert für eine Woche.

Nun ja,

man hat ja auch jeden Tag eine momentane Änderungsrate für die kommende Woche oder nicht?

Bezieht sich das "momentan" in der Aufgabenstellung auf die Wochenrate oder die Tagesrate?

Wie gesagt, mein Verständnis "momentane Wochenrate" am Tag t und nicht die "momentane Tagesrate" auf eine Woche skaliert. Vor allem wäre diese skalierte Rate ja auch nicht gleich der tatsächlichen Änderung innerhalb der berechneten Woche.

Momentane Wochenrate am Tag t und tatsächliche Änderung innerhalb der Woche von t bis t+7 sind für mich die Hauptargumente für meine Interpretation von:

"Jetzt soll ich die momentane Änderungsrate errechnen und zwar wann diese erstmals 10cm² pro Woche betrug."

Offenbar geben aber andere Deiner Interpretation den Vorzug siehe andere Antworten.

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Ich verweise auf meine Antwort und meinen aktuellen Kommentar,

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Sorry aber die Fragestellung ist hier ziemlich eindeutig. Die Ansätze 1) und 2) zeigen dir doch, dass es keine Rolle spielt, ob wir in Wochen oder in Tagen rechnen, alles eine Frage der Skalierung.    
Hier mal ein anderes Beispiel um zu dir durchzudringen: Du beschleunigst aus dem Stand mit einem Ferrari von 0 auf 200 km/h. Die Beschleunigung ist nicht konstant. Dabei gibt s(t) die zurückgelegte Strecke nach \(t\) Sekunden an. Wann ist die Geschwindigkeit zum ersten mal über 20 m/s? Hier berechnest du ja auch die momentane Änderungsrate und musst dabei die Skalierung beachten. Die Frage ist nicht, in welcher Sekunde tatsächlich 20 Meter zurück gelegt wurden.
Ob ich nun schreibe 20 m/s oder 20 m pro Sekunde spielt dabei keine Rolle.

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So endlich. Fehler verstanden. Danke für Eure Geduld.

Answer 2

Beispiel
Jemand bewegt sich mit 10 cm / Woche ( v = Änderungsrate )
Dies entspricht
10 cm / Woche * 52 Wochen = 520 cm /  Jahr

Änderungsrate 10 cm^2 / Woche * 52 Wochen = 520 cm^2 /  Jahr

f ( t ) = 5*1.1^t 
Dies ist die Bestandsformel : t in Jahren
Änderungsrate :
f ´( t ) = 5 * 1.1^t * ln(1.1 )
5 * 1.1^t * ln(1.1 ) = 10
31.9 Jahre

Habe ich irgendwo einen Fehler ?

Comments

Korrektur

5 * 1.1^t * ln(1.1 ) = 520
73.29 Jahre

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2.Korrektur : von Jahren war in der Aufgabenstellung nicht die Rede.

Änderungsrate x cm^2 / Tag *  7 Tage  = 10 cm^2 / Woche
gesuchte Änderungsrate : 10 / 7 cm^2 pro Tag

Dies ist die Bestandsformel : t in Tagen
f ( t ) = 5 * 1.1^t

Änderungsrate  in cm^2 / Tag
f ´( t ) = 5 * 1.1^t * ln (1.1 )
5 * 1.1^t * ln(1.1 ) = 10 / 7
t = 11.52 Tage

Bei 11.52 Tagen beträgt die Änderungsrate 10 cm^2 / Woche

Es wäre nett wenn jemand sein Ergebnis auch einstellen würde.

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Nachdem ich mich zunächst verlesen hatte und Jahr und Tag
verwechselt hatte dürfte meine Antwort richtig.

Hier meine Analyse der Frage.

Ich hab in einer Bakterienkultur folgenden Wachstum: f(t)= 5*1.1^t
Jetzt soll ich die momentane Änderungsrate errechnen und zwar wann
diese erstmals 10cm² pro Woche betrug. Wobei die Einheit von t Tage beträgt.

Gefragt ist nach der momentanen Änderungsrate.
Die momentane Änderungsrate ist die 1.Ableitung einer Funktion.
Momentane Änderungsrate = Steigungsfunktion einer Funktion = f ´( x ).

Die momentane Änderungsrate soll 10 cm^2 / Woche betragen.
Die Einheit des  Funktionswerts  f ( t )= 5 * 1.1^t  sind cm^2 ( t in Tagen ).
Die Einheit der 1.Ableitung ist cm^2 / Tag.

Eine momentane Änderungsrate von 10 cm^2 / Woche entspricht
10 / 7 cm^2 / Tag.

Einfaches Beispiel : ein Wanderer legt eine Strecke mit der Geschwindigkeit
( 1.Ableitung ) 35 km / Woche zurück. Dann beträgt die Geschwindigkeit
35 / 7 = 5 km / Tag.
35 km / Woche = 5 km / Tag

f ´(t ) = 5 * 1.1^{t} * ln (t)
5 * 1.1^{t} * ln (t) = 10 / 7
t = 11.52 Tage

~plot~ 5 * 1.1^x ; { 11.52 | 15 } ; [[ 0 | 15 | 0 | 21 ]] ~plot~