Division durch 13, 13|n ⟺ 13|(9*a+b)?

Question

Aufgabe:

Sei n∈ℕ und n≥100 mit der Darstellung n=100*a+b für a∈ℕ und b∈ {0, ... ,99}.

Beweisen Sie:
13|n ⟺ 13|(9*a+b)

Problem/Ansatz:

Schreibe nun 100 = 7*13 + 9, also n = 7*13*a + 9*a + b.

Eine natürliche Zahl n ≥ 100 mit der Darstellung n = 100*a + b ist genau dann durch 13 teilbar, wenn 9*a + b durch 13 teilbar ist.

Ist das schon der Beweis oder fehlt da noch etwas oder habe ich eine Denkfehler? Bin mir sehr unsicher...

Danke!

Answer 1

Das ist schon der Beweis. Hier noch etwas detaillierter.

n = 100 * a + b

mit 100 = 7 * 13 + 9

n = (7 * 13 + 9) * a + b

n = 7 * 13 * a + 9 * a + b

n = (7 * a) * 13 + (9 * a + b)

Der erste Summand ist immer durch 13 teilbar, weil ein Faktor 13 ist. Daher muss auch der zweite Summand 9 * a + b durch 13 teilbar sein, damit die gesamte Summe durch 13 teilbar ist.