Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau 2 rote, 2 grüne und 3 schwarze Perlen gewählt werden?

Question

Aufgabe:

In einer Schachtel befinden sich 100 Perlen, 50 rote, 30 grüne und 20 schwarz gefärbte. Es werden 7 Perlen mit Zurücklegen zufällig gezogen.

(a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau 2 rote, 2 grüne und 3 schwarze Perlen gewählt werden?

(b) Die grünen Perlen werden entfernt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim Ziehen von 3 mit Zurücklegen genau 2 rote und 1 schwarze Perlen gewählt werden?

Problem/Ansatz:

Ich würde (a) wie folgt berechnen:
(50/100)*(50/100)*(30/100)*(30/100)*(20/100)*(20/100)*(20/100)
-> die richtige Lösung soll hier 189/5000 sein - das kommt bei mir aber nicht heraus, wo liegt der Fehler?

bei (b) ist als Lösung 150/343 angegeben

Comments

Du musst alle möglichen Reihenfolgen berücksichtigen.

Answer 1

Der Pfad rrggsss hat die Wahrscheinlichkeit \(0,5^2*0,3^2*0,2^3\).

Für das Ziehen von 7 unterscheidbaren Kugeln gibt es 7! Pfade.

Da die beiden roten Kugeln nicht unterscheidbar sind, halbiert sich dieses Anzahl.

Gleiches gilt für die beiden grünen Kugeln.

Für die schwarzen wird sogar aus 6 unterscheidbaren Varianten eine nicht unterscheidbare. Damit gibt es nur \( \frac{7!}{2\cdot 2\cdot 6} \) Pfade mit jeweils der Wahrscheinlichkeit

 \(0,5^2*0,3^2*0,2^3\).

Answer 2

In einer Schachtel befinden sich 100 Perlen, 50 rote, 30 grüne und 20 schwarz gefärbte. Es werden 7 Perlen mit Zurücklegen zufällig gezogen.

(a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau 2 rote, 2 grüne und 3 schwarze Perlen gewählt werden?

7!/(2!·2!·3!)·0.5^2·0.3^3·0.2^3 = 0.01134

(b) Die grünen Perlen werden entfernt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim Ziehen von 3 mit Zurücklegen genau 2 rote und 1 schwarze Perlen gewählt werden?

(3 über 2)·(50/70)^2·(20/70)^1 = 0.4373