Question

Wie kann ich den Grenzwert von der Funktion bestimmen?

f(x,y)= \( \frac{x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2+1}-1} \)

(gegen den Punkt (0,0))

Ich bedanke mich im Voraus :)

Comments

Grenzwert gegen (0,0)? Gegen (∞,∞)? Gegen den Strom? Gegen die Wand?

---

haha gegen (0,0)

Answer 1

Aloha :)

Um eine Wurzel aus dem Nenner zu entfernen, gibt es seinen Standard-Trick. Er beruht auf der dritten binomischen Formel:$$(a-b)\cdot(a+b)=a^2-b^2$$Um diese anwenden zu können, musst du den Funktionsterm zunächst erweitern:$$f(x;y)=\frac{x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2+1}-1}=\frac{(x^2+y^2)\cdot\sqrt{x^2+y^2+1}+1)}{(\underbrace{\sqrt{x^2+y^2+1}}_{=a}-\underbrace{1}_{=b})\cdot(\underbrace{\sqrt{x^2+y^2+1}}_{=a}+\underbrace{1}_{=b})}$$$$\phantom{f(x;y)}=\frac{(x^2+y^2)\cdot\sqrt{x^2+y^2+1}+1)}{\underbrace{\left(\sqrt{x^2+y^2+1}\right)^2}_{=a^2}-\underbrace{1^2}_{=b^2}}=\frac{(x^2+y^2)\cdot\sqrt{x^2+y^2+1}+1)}{(x^2+y^2+1)-1}$$$$\phantom{f(x;y)}=\frac{(x^2+y^2)\cdot\sqrt{x^2+y^2+1}+1)}{x^2+y^2}=\sqrt{x^2+y^2+1}+1$$Nun kannst du \((x;y)=(0;0)\) bequem einsetzen und erhältst als Grenzert \(2\).

Answer 2

Es kann nichts schaden, den Bruch mit

\(\sqrt{x^2+y^2+1}+1 \)

zu erweitern.

Comments

Ja genau da habe ich Probleme

---

Kannst du evtl mit rechenschritten es mir erklären?

---

Erweitern heißt

Zähler mal \((\sqrt{x^2+y^2+1}+1 )\)

und
Nenner mal \((\sqrt{x^2+y^2+1}+1) \)

Die dritte binomische Formel gibt es auch noch.