Aufgabe:
a) Zeigen Sie, dass die durch
\( a_{1}=\frac{1}{4}, \quad a_{n+1}=a_{n}^{2}+\frac{1}{4}, \quad n \in \mathbb{N} \)
rekursiv definierte Folge \( \left\{a_{n}\right\}_{n \in \mathbb{N}} \) konvergiert.
Hinweis: Zeigen Sie dazu durch vollständige Induktion, dass \( a_{n}<\frac{1}{2} \) für alle \( n \in \mathbb{N} \) gilt.
b) Es sei \( d \in \mathbb{R}_{+} \). Zeigen Sie mithilfe des Monotoniekriteriums, dass die durch
\( b_{1}:=0, \quad b_{n+1}:=\frac{b_{n}^{2}}{2 d}+\frac{d}{2}, \quad n \in \mathbb{N} \)
rekursiv definierte Folge \( \left\{b_{n}\right\}_{n \in \mathbb{N}} \) konvergiert.
Hinweis: Zeigen Sie zunächst durch vollständige Induktion, dass \( b_{n}<d \) für alle \( n \in \mathbb{N} \) gilt.
Problem/Ansatz:
Ich weiß nicht, wie ich hier genau vorgehen soll.
