Seien V ein Vektorraum, n ∈ N0 und l1, . . . , ln ∈ V*. Zeige
die Äquivalenz folgender Aussagen:
(a) l 1, . . . , l n erzeugen den Vektorraum V *.
(b) Die lineare Abbildung V →K n, x → (l 1 (x), ..., l n (x)) T ist injektiv.
Ich muss ja eben genau beide Richtungen zeigen. Einmal nehme ich eben an, dass jedes Element aus V * darstellbar ist durch eine Linearkombination der l. Wenn man jetzt annimmt, dass die Abbildung aus (b) nicht injektiv ist gibt es ein x1 und x2 aus V sodass zweimal das selbe Element aus Kn getroffen wird. Ich finde aber keinen Weg wie das zu einem Widerspruch zu der Aussage in (a) führt.
Bei der umgekehrten Zeigerichtung geht es mir ähnlich... Hat mir da jemand vielleicht einen hilfreichen Tipp?
