Abstand zwischen Punkt und Gerade im Raum

Question

Aufgabe:

gegeben ist der gerade

g:x=(9/2/10) +t*(3/2/4) und der Punkt P, P(7/0/-2)

gesucht ist der kleinste Abstand zwischen der gerade und dem Punkt

Problem/Ansatz:

Ich habe mit dem Richtungsvektor eine Hilfsebene H 3*x1+2*x2+4*x4 = 13 gebildet und dort dann die Koordinaten der Gerade eingesetzt um t zu bekommen. durch einsetzten dieses t´s habe ich dann den Vektor (3/-272) bekommen und dann den Abstand zwischen diesem Vektor und dem Punkt P bestimmt. dieser ist dann 6.

Ist dies Korrekt ?????

Danke im Voraus.

Answer 1

Hallo,

ja, das ist mit t=-2 richtig.

Allerdings hast du den Abstand zwischen zwei Punkten bestimmt, nicht zwischen Vektor und Punkt.

Außerdem enthält deine Frage ein paar verwirrende Tippfehler.

:-)

Answer 2

Aloha :)

Wähle einen beliebigen Punkt auf der Geraden aus, etwa den Ankerpunkt \(A(9|2|10)\).

Bilde den Vektor von diesem Punkt zum Punkt \(P(7|0|-2)\), also: \(\overrightarrow{AP}=\begin{pmatrix}7-9\\0-2\\-2-10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\-2\\-12\end{pmatrix}\)

Bestimme den Anteil von \(\overrightarrow{AP}\), der parallel zur Gerade verläuft, indem du diesen Vektor auf den Richtungsvektor der Geraden projezierst:$$\overrightarrow{AP}_{\parallel}=\frac{\begin{pmatrix}-2\\-2\\-12\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3\\2\\4\end{pmatrix}}{\left\|\begin{pmatrix}3\\2\\4\end{pmatrix}\right\|^2}\cdot\begin{pmatrix}3\\2\\4\end{pmatrix}=\frac{-6-4-48}{3^2+2^2+4^2}\cdot\begin{pmatrix}3\\2\\4\end{pmatrix}=-\frac{58}{29}\cdot\begin{pmatrix}3\\2\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6\\-4\\-8\end{pmatrix}$$Der Anteil von \(\overrightarrow{AP}\), der senkrecht auf der Geraden steht ist dann:$$\overrightarrow{AP}_{\perp}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AP}_{\parallel}=\begin{pmatrix}-2\\-2\\-12\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-6\\-4\\-8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\2\\-4\end{pmatrix}$$Seine Länge ist der gesuchte Abstand:\(\quad d=\sqrt{4^2+2^2+(-4)^2}=\sqrt{36}=6\).

Dein Ergebnis ist also richtig \(\checkmark\)