Aloha :)
Hier überlegen wir uns eine Art Rekursionsformel und betrachten zuerst mit Hilfe der partiellen Integration folgendes Integral:$$\int u(x)\cdot \underbrace{e^{-x/4}}_{=v'(x)}\,dx=u(x)\cdot\underbrace{(-4e^{-x/4})}_{=v(x)}-\int u'(x)\cdot\underbrace{(-4e^{-x/4})}_{=v(x)}\,dx$$$$\int u(x)\cdot e^{-x/4}\,dx=-4u(x)\cdot e^{-x/4}+\int 4u'(x)\cdot e^{-x/4}\,dx$$
Das wenden wir nun 4-mal hintereinander an:$$u(x)=x^3\implies\int x^3\cdot e^{-x/4}=-4x^3\cdot e^{-x/4}+\int12x^2\cdot e^{-x/4}\,dx$$$$u(x)=12x^2\implies\int 12x^2\cdot e^{-x/4}=-48x^2\cdot e^{-x/4}+\int96x\cdot e^{-x/4}\,dx$$$$u(x)=96x\implies\int 96x\cdot e^{-x/4}=-384x\cdot e^{-x/4}+\int384\cdot e^{-x/4}\,dx$$$$u(x)=384\implies\int 384\cdot e^{-x/4}=-1536\cdot e^{-x/4}+\int0\cdot e^{-x/4}\,dx$$
Wir fassen zusammen:$$\int x^3\cdot e^{-x/4}\,dx=-4x^3\cdot e^{-x/4}-48x^2\cdot e^{-x/4}-384x\cdot e^{-x/4}-1536\cdot e^{-x/4}$$klammern \((-4\cdot e^{-x/4})\) aus und beachten noch den Faktor \(540\) aus der Originalaufgabe:$$\int 540x^3\cdot e^{-x/4}\,dx=-2160e^{-x/4}\cdot(x^3+12x^2+96x+384)+\text{const}$$
