Zeigen Sie, dass (G, +) eine Gruppe ist.

Question

Aufgabe:Bekanntlich ist (Zq,+) für alle q ∈ N eine kommutative Gruppe. Für l ∈ N setzen wir G := Z^l_qund erklären eine Addition „+“ auf G komponentenweise (wie für Vektoren!). Genauer: (a₁,...,a_l)+(b₁,...,b_l):=(a₁ +b₁,...,a_l +b_l).
(a) Zeigen Sie, dass (G, +) eine Gruppe ist.
(b) Wir definieren ein Krypto-System (G, G, G, f) durch f(x, k) := x+k für alle (x, k) ∈ G×G.
Zeigen Sie, dass (G,G,G,f) ein Krypto-System ist, indem Sie die Dechiffrier-Abbildung g angeben und die definierende Eigenschaft nachweisen.
(c) Es sei ein Geheimtext c ∈ G beliebig gewählt. Zeigen Sie, dass es zu jedem Klartext m ∈ G genau einen Schlüssel k ∈ G gibt mit f(m,k) = c.
(d) Was hat das alles mit Vigenère-Chiffren zu tun?

ich würde mich über Hilfe freuen. Ich komme irgendwie nicht weiter.

Comments

Ich kann nur was zu a) sagen, da ich kein Informatiker bin

Schau mal du musst 3 Gruppenaxiome zeigen plus die Abgeschlossenheit der Verknüpfung. Naja dann fang doch mal an mit der assoziativität. Nimm dir drei Elemente, addieren sie, dann addierst du sie Komponentenweise, naja aber in diesen Komponenten gilt ja dann die assoziativität, also kannst du umklammern und dann ziehst du wieder den einen Vektor auseinander zu drei Vektoren. Genauso analog sieht das Beim Inversen und neutralen Element aus.