Richtig oder Falsch? Komplexe Zahlen: arcsin(sin(π/3)) = π/3

Question

Richtig oder falsch? Unbedingt begründen (Zeichnung?)

(a) \( e^{\left(\ln \left(-1+j \frac{4 \pi}{3}\right)\right)}=\left(-1+j\left(\frac{4 \pi}{3}+2 \pi\right)\right) \)

(c) \( \ln \left(e^{\left(-1+j \frac{4 \pi}{3}\right)}\right)=\left(-1-j \frac{2 \pi}{3}\right) \)

(d) \( \ln \left(e^{(-1-j 3 \pi)}\right)=(-1+j \pi) \)

(e) \( \arcsin \left(\sin \left(\frac{\pi}{3}\right)\right)=\frac{\pi}{3} \)

(f) \( \arcsin \left(\sin \left(\frac{7 \pi}{3}\right)\right)=\frac{7 \pi}{3} \)

Answer 1

arcsin(sin(π/3)) = π/3   stimmt zumindest im reellen, da π/3 ein reeller spitzer Winkel ist.

arcsin(sin(7π/3)) = arcsin(sin(7π/3 - 2π)) = arcsin(sin(π/3)) = π/3 ≠ 7π/3

Daher: e) richtig und f) falsch.

Gemäss https://www.wolframalpha.com/input/?i=ln%28e%5E%28-1+%2B+i4π%2F3%29%29

stimmt c)

offenbar wird der imaginäre Anteil modulo 2π gerechnet und im Bereich zwischen -π und + π angegeben.

Daher stimmt d) auch. Vgl. https://www.wolframalpha.com/input/?i=ln%28e%5E%28-1+-+i3π%29%29

a) ist falsch. wird zuerst der ln benutzt und dann e hoch das Ergebnis gerechnet, kommt wieder der ursprüngliche Wert raus. Modulo wird nicht benutzt.

Test: https://www.wolframalpha.com/input/?i=e%5E%28ln%28-1+%2B100πi%2F3%29%29

Answer 2

  zu deiner Information

  - die Funktionen arcsin ( sin ( term )) heben sich auf = term
  - ln ( e ( term )) = term

  bei e.) und f.) sind die Funktionen gleich.

  Für a.) bis d.) laß dir die Funktionen von einem Funktionsplotter zeichnen.
Oben rechts auf dieser Seite ist ein solcher.

  Bei Fragen wieder melden.

  mfgb Georg

Comments

Das ist leider alles falsch. Es ist arcsin: $$[-1,+1] \to [-\pi/2, \pi/2]$$, d.h. der arcsin kann niemals den Wert $$7\pi/3$$ annehmen, der der nicht im Wertebereich ist. Tatsächlich ist $$arcsin(sin(7\pi/3))=\pi/3$$. Es gilt $$arcsin(sin(x))=x \,\forall x \in [-\pi/2, \pi/2]$$. Ferner geht es hier um den komplexen Logarithmus. Das mit einem Funktionsplotter zu zeichnen ist schwierig, da die Bilder 4-dimensional sind. Der hier kann das also? Die Frage ist hier eher was genau mit ln gemeint ist. Wohl der hauptzweig des Logarithmus

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Ich habe mich da mal auf die Definitionen von WolframAlpha verlassen.