Lokale Extremstelle von f : ℝ² → ℝ mit f (x,y) = (8x-y)^3 +x² - 10x +25 bestimmen.

Question

Ich habe eine Frage und hoffe jemand kann mir bitte helfen...

 

Die Funktion f : ℝ² → ℝ mit

f (x,y) = (8x-y)³ +x² - 10x +25 hat genau eine lokale Extremstelle.. bestimme diese.

 

Nun meine Frage, wie fange ich an, wenn ich zwei Unbekannte habe und was bedeutet dieses ℝ² → ℝ (mir ist nämlich nur ℝ → ℝ bekannt)?

 

Ich danke für Eure Hilfe!

Answer 1

Dieses ℝ² → ℝ bedeutet, dass jedem Vektor aus dem 2-dimensionalen Raum (er hat die Komponeten x und y)  ein Skalar aus dem 1-dimensionalen Raum zugeordnet wird.

Bildlich kannst du dir das so vorstellen, dass durch die Funktion f jedem Punkt auf einer Ebene ein Wert zugeordnet wird. (beispielsweise auf einer Landkarte die Höhenangabe)

 

f (x,y) = (8x-y)³ +x² - 10x +25

Damit ein Extrempunkt vorliegt, muss sowohl die Ableitung in x, also auch in y-Richtung 0 sein.

f_x (x,y) = 3 (8x-y)² * 8 + 2x - 10 = 24 * (8x-y)² +2x - 10

f_y (x,y) = 3 (8x-y)² * (-1) = -3 *(8x-y)²

Also:

1) 24 * (8x-y)² +2x - 10 = 0

2) -3 * (8x-y)² = 0 ⇔ (8x-y)² = 0 ⇔ (8x-y) = 0 ⇔ 8x = y

 

2) in 1)

24 * (8x-8x)² +2x - 10 = 0

x = 5

⇒ y = 40

 

Die lokale Extremstelle liegt also bei (5;40).

Answer 2

Am einfachsten ist es wenn man sich einen Tisch vorstellt, dessen Koordinaten in x und z angegeben sind. Auf diesem Tisch baust du jetzt eine Landschaft. Die Höhe der Landschaft über der x-y-Ebene ist mit z = f(x, y) angegeben.

In deinem Beispiel also eventuell:

Damit diese Funktion an einer Stelle eine lokale Extremstelle besitzt muss die erste Abkleitung nach x und die erste Ableitung nach y jeweils Null sein.

f(x) = (8·x - y)^3 + x^2 - 10·x + 25 = 512·x^3 - 192·x^2·y + x^2 + 24·x·y^2 - 10·x - y^3 + 25

d/dx f(x,y) = 1536·x^2 - 384·x·y + 2·x + 24·y^2 - 10 = 0
d/dy f(x,y) = - 192·x^2 + 48·x·y - 3·y^2 = 0

I + 8*II

2·x - 10 = 0
x = 5

- 192·5^2 + 48·5·y - 3·y^2 = 0
- 3·y^2 + 240·y - 4800 = 0
y = 40

f(5, 40) = 512·5^3 - 192·5^2·40 + 5^2 + 24·5·40^2 - 10·5 - 40^3 + 25 = 0

Wenn es ein lokales Extrema gibt, dann ist dieses bei EP[5, 40, 0].

Deine Aufgabe wäre es jetzt nachzuweisen das dies wirklich ein Extrema ist und nicht eventuell ein Sattelpunkt.