H59 Integration, lokale Extrema und Wendepunkte. Bsp. f(x) = cos(x)*sinh(x)

Question

H59

Bitte mit rechenweg

Die Integration müsste eig hinbekonmen

H59 Integration, lokale Extrema und Wendepunkte. Bsp. f(x) = cos(x)*sinh(x) 

Comments

EDIT: Bitte auf Rechtschreibung in Überschriften achten. Habe bei beiden Überschriften von gestern ein überflüssiges r aus dem Wort Integral / Integration entfernt.

Ausserdem: Text bitte als Text eingeben und Schreibregeln besser beachten. https://www.mathelounge.de/schreibregeln

Answer 1

c) Eine Stammfunktion bekommst du z.B.

 mit zweimaliger Anwendung der partiellen Integration

∫ x² e^-2x dx

=   x² *(-1/2)*e^-2x -  ∫ 2x (-1/2)*e^-2x dx

=   (-1/2)x² *e^-2x +  ∫ xe^-2x dx

=   (-1/2)x² *e^-2x +   x*(-1/2)*e^-2x -   ∫ (-1/2)e^-2x dx



=   (-1/2)x² *e^-2x +   x*(-1/2)*e^-2x  +(1/2)   ∫ e^-2x dx


=   (-1/2)x² *e^-2x +   x*(-1/2)*e^-2x  -(1/4) e^-2x     + C

=   (  (-1/2)x²  -   (1/2)x  -(1/4) )*e^-2x    + C

wegen F(0)=0 muss gelten       -(1/4) )   + C    = 0

also   F(x) =  (  (-1/2)x²  -   (1/2)x  -(1/4) )*e^-2x    + 1/4

F ' (x₀) = 0 <=>   x₀ = 0

F ' ' (0) = 0   und F ' ' ' (0) = 2 Also bei (0;0) Sattelpunkt.

Und in jeder Umgebung von 0 sind sowohl positive als
auch negative Werte, also kein lok. Extremum.

Answer 2

Zu a) Die Aufleitung hast du ja selbst bestimmen können. Hier nochmal zum Vergleich. F(x)=e^x(cos(x)+sin(x))/4-(cos(x)-sin(x))/(4e^x).

Die Extremstellen liegen an Nullstellen von f(x)=cosxsinh(x), also bei x₁=0 und x_2/3=±√π.