Zeigen Sie, dass die Beziehungen eine Bijektion zwischen quadratischen Formen und symmetrischen Bilinearformen …

Question

Aufgabe:

Eine quadratische Form auf ℝⁿ ist eine Abbildung, die sich schreiben lässt als q((x₁,...,x_n)) = ∑ⁿ_i,j=1 a_ijx_ix_j.

Zeigen Sie, dass die Beziehungen eine Bijektion zwischen quadratischen Formen und symmetrischen Bilinearformen definiert. Was ergibt sich, wenn man nach diesen Regeln einer beliebigen, also nicht unbedingt symmetrischen Bilinearform eine quadratische Form zuordnet, und dann daraus eine Bilinearform konstruiert?

Answer 1

Sei \(V=\mathbb{R}^n\). Zu einer symmetrischen Bilinearform \(B:V\times V\rightarrow \mathbb{R}\)

defnieren wir die quadratische Form \(q_B:V\rightarrow \mathbb{R}\) durch

\(q_B(x):=B(x,x)\) für \(x\in V\).

Zu einer quadratischen Form \(q:V\rightarrow\mathbb{R}\) definieren wir

die symmetrische Bilinearform \(B_q:V\times V\rightarrow \mathbb{R}\) durch

\(B_q(x,y)=(q(x+y)-q(x)-q(y))/2\) für \(x,y\in V\)$$\text{ Dann gilt: } B_{q_B}=B \text{ und } q_{B_q}=q$$Ist \(B\) nicht symmetrisch, dann liefert \(C=B_{q_B}\) eine symmetrische Bilinearform \(C\)

mit \(c_{ij}=(b_{ij}+b_{ji})/2\).