Aussagen beweisen (angeordneter Körper)

Question

Aufgabe:

Sei \( (K,+, \cdot, \leq) \) ein angeordneter Körper. Beweisen Sie folgende Aussagen für \( x, y \in K \) :
(i) \( x \neq 0 \Longrightarrow x^{2}>0 \)
(ii) \( x, y<0 \Longrightarrow x+y<0 \)
(iii) \( |x+y| \leq|x|+|y| \)

Answer 1

ad (iii):

Hier musst du die Dreiecksungleichung beweisen und das geht am einfachsten, indem du sie zunächst quadrierst. (Das ist möglich, weil es sich hier um Beträge handelt.) Also hast du dann:

     x² + 2xy + y² ≤ x² + 2|xy| + y²

Beide Seiten enthalten x² und y², also kannst du diese wegkürzen. Nun bleibt folgendes übrig:

     2xy ≤ 2|xy|

Sind x und y beide positiv oder negativ, sind beide Seiten der Ungleichung gleich groß. Ist einer der beiden Faktoren negativ, ist 2xy ≤ 2|xy|. q.e.d