Grenzwert von n-ter Wurzel

Question

Aufgabe:

Sei \( a>0 \). Zeigen Sie \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \displaystyle\sqrt[n]{a}=1 \).
Anleitung:
- Betrachten Sie zuerst den Fall \( a \geq 1 \). Um \( |\sqrt[n]{a}-1|=\sqrt[n]{a}-1 \) abzuschätzen, können Sie die Bernoulli-Ungleichung für \( x=\sqrt[n]{a}-1 \) benutzen.
- Folgern Sie die Aussage für \( 0<a<1 \), indem Sie \( a=\frac{1}{b} \) mit \( b>1 \) schreiben.

Problem/Ansatz:

Comments

Die Anleitung steht ja schon in der Aufgabe?

Answer 1

Aloha :)

Behauptung:\(\quad\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=1\)

1. Fall \(a\ge1\)

Wir definieren eine Folge \(x_n\ge0\) über die Definitionsgleichung \((x_n\coloneqq\sqrt[n]{a}-1)\).

Aus der Bernoulli-Ungleichung \((\ast)\) folgt dann:$$x_n=\sqrt[n]{a}-1\implies \sqrt[n]{a}=1+x_n\implies a=(1+x_n)^n\stackrel{(\ast)}{\ge}1+nx_n$$Damit gilt für die Folge \(x_n\):$$0\le x_n\le\frac{a-1}{n}\implies0\le\lim\limits_{n\to\infty}x_n\le\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a-1}{n}=0\implies\lim\limits_{n\to\infty}x_n=0$$Daher gilt auch:$$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=1+\lim\limits_{n\to\infty}x_n=1+0=1$$

2. Fall \(0<a<1\)

Wegen \((0<a<1)\) gilt \(\left(\frac1a>1\right)\) und damit gemäß dem 1-ten Fall \(\left(\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac1a}=1\right)\). Darauf aufbauend betrachten wir:$$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{\frac1a}}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{\frac1a}}=\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac1a}}\stackrel{(\text{s.o.})}{=}\frac{1}{1}=1$$

Damit gilt die Behauptung für alle \(a>0\).