Beweis der Distributivgesetze bei Matrizen

Question

Aufgabe:

Gegeben seien Matrizen A, A ̃ ∈ Km×n und B, B ̃ ∈ Kn×p. Beweisen Sie die Distributivgesetze
A·(B+B ̃)=A·B+A·B ̃ und (A+A ̃)·B=A·B+A ̃·B.

Problem/Ansatz:

Ich komme absolut nicht damit klar.

Comments

Beweis einer Matrix

Ich habe den Titel geändert. Du sollst nicht eine Matrix beweisen.

Answer 1

Aloha :)

Seien \(A,\tilde A\in\mathbb{R}^{m\times n}\) und \(B,\tilde B\in\mathbb{R}^{n\times p}\) gegeben.

Dann gilt für die \(i\)-te Zeile und \(k\)-te Spalte der Matrix \(A(B+\tilde B)\):$$[A(B+\tilde B)]_{ik}=\sum\limits_{l=1}^n A_{il}(B+\tilde B)_{lk}=\sum\limits_{l=1}^n A_{il}(B_{lk}+\tilde B_{lk})=\sum\limits_{l=1}^n \left(A_{il}B_{lk}+A_{il}\tilde B_{lk}\right)$$$$\phantom{[A(B+\tilde B)]_{ik}}=\sum\limits_{l=1}^nA_{il}B_{lk}+\sum\limits_{l=1}^n A_{il}\tilde B_{lk}=(AB)_{ik}+(A\tilde B)_{ik}$$Dies gilt für alle \((i=1,\ldots,m)\) und \((k=1,\ldots,p)\), sodass:$$A(B+\tilde B)=AB+A\tilde B$$

Für die die \(i\)-te Zeile und \(k\)-te Spalte der Matrix \((A+\tilde A)B\) gilt:$$[(A+\tilde A)B]_{ik}=\sum\limits_{l=1}^n (A_{il}+\tilde A_{il})B_{lk}=\sum\limits_{l=1}^n (A_{il}+\tilde A_{il})B_{lk}=\sum\limits_{l=1}^n \left(A_{il}B_{lk}+\tilde A_{il} B_{lk}\right)$$$$\phantom{[A(B+\tilde B)]_{ik}}=\sum\limits_{l=1}^nA_{il}B_{lk}+\sum\limits_{l=1}^n \tilde A_{il}B_{lk}=(AB)_{ik}+(\tilde AB)_{ik}$$Dies gilt für alle \((i=1,\ldots,m)\) und \((k=1,\ldots,p)\), sodass:$$(A+\tilde A)B=AB+\tilde AB$$