Aloha :)
Die Methode mit de Summenzeichen ist die aufwändige. Normalerweise lässt man beim Rechnen mit Matrizen die Summenzeichen weg und verwendet die "Einstein'sche Summenkovention", dass über alle doppelt auftauchenden Indizes summiert wird. Hier die aufwändige Methode ;)
Assoziativgesetz:
Seien \(A\in\mathbb{R}^{m\times n}, B\in\mathbb{R}^{n\times p},C\in\mathbb{R}^{p\times q}\) gegeben. Ihre Größen sind so gewählt, dass ihr Produkt \((AB)C\) definiert ist. Zum Beweis der Assoziativität betrachten wir die \(i\)-te Zeile und \(k\)-te Spalte des Produktes. Dazu benötigen wir das allgemeine Distributivgesetz für Körper anwenden und symbolisieren dessen Anwendung durch das Symbol \(\stackrel{(D)}{=}\).$$\left[(AB)C\right]_{ik}=\sum\limits_{j=1}^p(AB)_{ij}C_{jk}=\sum\limits_{j=1}^p\left(\sum\limits_{l=1}^n A_{il}B_{lj}\right)C_{jk}\stackrel{(D)}{=}\sum\limits_{j=1}^p\sum\limits_{l=1}^n A_{il}B_{lj}C_{jk}$$$$\stackrel{(D)}{=}\sum\limits_{l=1}^n A_{il}\left(\sum\limits_{j=1}^pB_{lj}C_{jk}\right)=\sum\limits_{l=1}^n A_{il}\left(BC\right)_{lk}=[A(BC)]_{ik}$$
Distributivgesetz:
Seien \(A\in\mathbb{R}^{m\times n}, B\in\mathbb{R}^{n\times p},C\in\mathbb{R}^{n\times p}\) gegeben. Dann gilt:
$$[A(B+C)]_{ik}=\sum\limits_{l=1}^n A_{il}(B+C)_{lk}=\sum\limits_{l=1}^n A_{il}(B_{lk}+C_{lk})$$$$=\sum\limits_{l=1}^n \left(A_{il}B_{lk}+A_{il}C_{lk}\right)=\sum\limits_{l=1}^nA_{il}B_{lk}+\sum\limits_{l=1}^n A_{il}C_{lk}=(AB)_{ik}+(AC)_{ik}$$
