Basis angeben mit Eigenschaft

Question

Basis bilden:

Wie bildet man eine Basis von dem hier?:

\( U:=\left\{\left(\begin{array}{c}a \\ b \\ c\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3} \mid a+3 b+5 c=0 \wedge 3 a-2b-c=0\right\} \)

Meine Idee war die beiden gleichungen Gleich zu stellen, da beide = 0 ergeben und dann umstellen auf die Variablen,

und dann 3 Vektoren angeben als Erzeugendensystem.

Aber dann geht es leider nicht auf.

Answer 1

Hallo

da der Raum 3d ist und du 2 Bedingungen hast, ist der gesuchte UVR 1d also keine 3 Vektoren?

aber warum sagst du ein Vorgehen und probierst es nicht aus? dann hattest du gesehen, dass ein 1 d Vektor rauskommt!

mit a=7, b=16, c=-11 hast du einen ganzzahlen Vektor.

wirf c erst raus, dann hast du die Beziehung zwischen a und b nimm eines an bestimme das andere und dann c

Was "Aber dann geht es leider nicht auf" heisst verstehe ich nicht. zeig in Zukunft, was du machst statt eine Wortbeschreibung,

lul

Answer 2

Aloha :)

Du hast zwei Bedingungen an die drei Koordinaten des Vekorraums \(U\). Wir schreiben diese beiden Bedingungen in ein Gleichungssystem und vereinfachen es soweit, wie möglich. Das heißt, wir wollen so viele Spalten wie möglich erzeugen, die aus lauter Nullen und genau einer Eins bestehen:$$\begin{array}{rrr|c|l}a & b & c & = & \text{Aktion}\\\hline1 & 3 & 5 & 0 &\\3 & -2 & -1 & 0 &-3\cdot\text{Zeile 1}\\\hline1 & 3 & 5 & 0 &\\0 & -11 & -16 & 0 & \colon(-11)\\\hline1 & 3 & 5 & 0 &-3\cdot\text{Zeile 2}\\0 & 1 & \frac{16}{11} & 0 &\\[0.5ex]\hline\\[-2ex]1 & 0 & \frac{7}{11} & 0 &\Rightarrow a+\frac{7}{11}c=0\\[1ex]0 & 1 & \frac{16}{11} & 0 & \Rightarrow b+\frac{16}{11}c=0\end{array}$$

Wir stellen die erhaltenen Koordinatengleichungen so um, dass \(c\) rechts steht:$$a=-\frac{7}{11}c\quad;\quad b=-\frac{16}{11}c$$und können nun alle Vektoren aus \(U\) wie folgt angeben:$$\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{7}{11}c\\[1ex]-\frac{16}{11}c\\c\end{pmatrix}=-\frac{c}{11}\begin{pmatrix}7\\16\\-11\end{pmatrix}$$Da du für \(c\) jede beliebige reelle Zahl einsetzen kannst, kann auch \(\left(-\frac{c}{11}\right)\) jede beliebige reele Zahl annehmen. Eine mögliche Basis des Vektorraums \(U\) wäre daher:$$\text{Basis}(U)=\begin{pmatrix}7\\16\\-11\end{pmatrix}$$

Comments

Kann man diese Aufgabe nur durch ein LGS lösen? Mit dem Gaußverfahren?

Was genau ist denn das Ziel, bei diesen Bedingungen?

Das wir nur eine Variable am Ende haben die wir rausziehen können?

Danke schonmal :)

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Kann man diese Aufgabe nur durch ein LGS lösen?

Nein, benutze das Vektorprodukt.

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Du hast hier 3 mögliche Variablen \(a\), \(b\) und \(c\) sowie 2 Bedingungen in Form von Gleichungen. Daher kannst du nur eine der 3 Variablen frei wählen, die beiden anderen Variablen folgen dann zwingend aus den beiden Gleichungen.

Diese eine frei wählbare Variable resultiert darin, dass der Vektorraum die Dimension \(1\) hat. Mit der Methode, die ich vorgeführt habe, kannst du ganz allgemein einen Basisvektor dieses Vektorraums bestimmen. Die Methode funktioniert auch, wenn der Vektorraum mehr als eine Dimension hat.

In diesem speziellen Fall hier, mit 3 Variablen und 2 Bedingungen kannst du auch mit dem Vektorprodukt rechnen. Das funktioniert aber nicht allgemein, daher habe ich diese Methode nicht gewählt.

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Danke für die Antwort nochmal, das kann ich auch nachvollziehen.

Aber wie mache ich das denn bei z.B. so einer Aufgabe?:

\( W:=\left\{\left(\begin{array}{c}x \\ y \\ z\\ r \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{4} \mid x+2 y+3 r=0 \wedge 2 x-y-z=0\right\} \)

Ich habe hier ja schon einmal in der linken Gleichung z=0 und in der rechten r=0.

Wie kann ich hier Variablen eliminieren?

Und könntest du mir vielleicht erklären wie du darauf kommst, das bei der Aufgabe oben nur eine Dimension exestiert? Du meintest eine Variable ist frei wählbar, das verstehe ich noch nicht so ganz.

Aber Danke dafür )

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\(W\) hat 2 Dimensionen, denn du hast 4 Variablen, von denen du 2 frei wählen kannst. Die beiden anderen sind dann nämlich durch die beiden Gleichungen eindeutig bestimmt. Du kannst hier die Basis nach demselben Prinzip wie oben bestimmen.

Answer 3

Die beiden Gleichungen beschreiben jeweils eine Ebene. Gesucht ist die Schnittmenge, in diesem Fall eine Gerade durch den Ursprung. Eine Basis besteht also aus einem einzigen Richtungsvektor, den du z.B. als Kreuzprodukt der Normalenvektoren der Ebenen erhältst.

Falls du es mit dem Additionsverfahren lösen willst:

Die beiden gegebenen Gleichungen gleichzusetzen ist nicht sinnvoll, da du dann keine Variable eliminierst. Du könntest die erste Gleichung mit 3 multiplizieren und die zweite davon subtrahieren. Dadurch fällt a weg und du erhältst eine Gleichung mit b und c. Eine von beiden Variablen darfst du mit einem Wert ungleich Null festlegen. Damit kannst du die anderen beiden bestimmen.

:-)