Matrix A gesucht aus mehrern gegeben Matrizen

Question

Es seien A ∈ R^3x3

sowie ⃗b₁= (0,0,2)^T,⃗b₂= (0,1,0)^T und ⃗b₃ = (1,0,0)^T

mit
A⃗b₁ = (2,4,8)^T,A⃗b₂ = (1,0,0)^Tund A⃗b₃ =⃗b₂ +⃗b₃ gegeben.

Gebe A  und den rang(A) an.

Wäre toll, wenn mir einer Tipps geben könnte, wie man das löst.

Answer 1

Gleichungen aufstellen:

a₁₁ * b_1x + a₁₂ * b_1y + a₁₃*b_1z = 2

a₂₁ * b_1x + a₂₂ * b_1y + a₂₃*b_1z = 4

a₃₁ * b_1x + a₃₂ * b_1y + a₃₃*b_1z = 8

 

a₁₁ * b_2x + a₁₂ * b_2y + a₁₃*b_2z = 1

a₂₁ * b_2x + a₂₂ * b_2y + a₂₃*b_2z = 0

a₃₁ * b_2x + a₃₂ * b_2y + a₃₃*b_2z = 0

 

a₁₁ * b_3x + a₁₂ * b_3y + a₁₃*b_3z = 1

a₂₁ * b_3x + a₂₂ * b_3y + a₂₃*b_3z = 1

a₃₁ * b_3x + a₃₂ * b_3y + a₃₃*b_3z = 0

 

bekannte Werte einsetzen:

a₁₁ * 0 + a₁₂ * 0 + a₁₃* 2 = 2

a₂₁ * 0 + a₂₂ * 0 + a₂₃* 2 = 4

a₃₁ * 0 + a₃₂ * 0 + a₃₃* 2 = 8

 

a₁₁ * 0 + a₁₂ * 1 + a₁₃* 0 = 1

a₂₁ * 0 + a₂₂ * 1 + a₂₃* 0 = 0

a₃₁ * 0 + a₃₂ * 1 + a₃₃* 0 = 0

 

a₁₁ * 1 + a₁₂ * 0 + a₁₃* 0 = 1

a₂₁ * 1 + a₂₂ * 0 + a₂₃* 0 = 1

a₃₁ * 1 + a₃₂ * 0 + a₃₃* 0 = 0

 

Daraus folgt:

a₁₃* 2 = 2    ⇒ a₁₃ = 1

a₂₃* 2 = 4    ⇒ a₂₃ = 2

a₃₃* 2 = 8    ⇒ a₂₃ = 4

a₁₂* 1 = 1

a₂₂* 1 = 0

a₃₂* 1 = 0

a₁₁* 1 = 1

a₂₁* 1 = 1

a₃₁* 1 = 0

 

Die Matrix A lautet also:

         1     1     1

A =   1     0     2

         0     0     4

 

rang A = 3, weil nach einem Gaußschritt da steht:

        1     1     1

A =   0     1    -1

         0     0     4

Comments

Thank you!!!!