Aufgabe:
Beweisen Sie diesen Satz; Sei R eine Äquivalenzrelation über einer Menge X und seien x,y ∈ X. Falls x~y gilt, dann folgt A(x) = A(y).
Ich werde sehr dankbar, wenn Sie mir helfen.
Ich bitte um Ihre Hilfe.
Wie ist denn A(x) definiert ?
Was ist denn A(x) ? Soll das die Äquivalenzklasse sein,
in der x liegt ? Dann ist es doch trivial:
In der liegen doch alle die, die äquivalent zu x sind .
Wenn A(x)A(x)A(x) die Äquivalenzklasse von xxx bedeuten soll, dann:
z∈A(x)⇒z∼xz\in A(x)\Rightarrow z\sim xz∈A(x)⇒z∼x. Wegen x∼yx\sim yx∼y folgt aus der Transitivität
z∼yz\sim yz∼y, also z∈A(y)z\in A(y)z∈A(y), somit A(x)⊆A(y)A(x)\subseteq A(y)A(x)⊆A(y) und aus Symmetriegründen
analog A(y)⊆A(x)A(y)\subseteq A(x)A(y)⊆A(x), folglich A(x)=A(y)A(x)=A(y)A(x)=A(y).
Vielen lieben Dank :)
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