Unter welchen Voraussetzungen an a, b, c ist diese Menge der Graph einer Äquivalenzrelation auf Z

Question

Seien a, b, c ∈ R beliebig. Betrachten Sie die Menge in Z²
, die durch die Gleichung
                         ax + by + c = 0
gegeben ist. Unter welchen Voraussetzungen an a, b, c ist diese Menge der Graph einer Äquivalenzrelation auf Z? Wie viele verschiedene Äquivalenzrelationen erhalten Sie auf diese Art?
Können Sie die erhaltenen Äquivalenzrelationen vergröbern oder verfeinern?

Answer 1

     Es ist doch wohl klar, dass die Gleichung  ax + by + c = 0 eine Gerade im x-y-Kooordinatensystem beschreibt?

Wenn diese Gleichung Lösungen (x,y) mit ganzen Zahlen x,y haben soll, dann muss die beschriebene Gerade einen oder mehrere Gitterpunkte dieses Koordinatensystems enthalten.

Wenn sie nur einen Gitterpunkt enthält, sind die Äquivalenzklassen einelementig, wenn sie zwei Gittelpunkte enthalten, dann enthalten sie sogar unendlich viele Gitterpunkte.

Comments

Okay macht voll Sinn, aber wir haben gerade mit Äquivalenzrelation und uns steht vor, dass wir das so beweisen in dem wir Reflexivität, Symmetrie  und Transitivität. und davon aus Voraussetzungen für a,b und c finden.

Habe von Reflexivität dass, -c/a+b = x , heißt -c/a+b soll ∈ Ζ sein.

Habe von Symmetrie, dass a =b sein soll.

bei Transitivität kamm ich nicht weiter.

Entschuldige meine Naivetät aber ich habe den Term Äquivalenzrelation zum ersten mal vor 2 Stunden gehört.