Bestimmen Sie die Lösung folgender Betragsgleichungen a) |(x+2)²|=2

Question

Bestimmen sie die Lösung folgender Betragsleichungen .

zunächst die aufgaben :
|(x+2)²|=2
|-x²-2x+1|=2

|5-1/2x+1|=6

meine Frage ist, ob ich mit Hilfe eines Rechen Weges die jeweilige variabel herausfinden könnte ?

Answer 1

Bei der ersten Aufgabe kannst du die Betragsstriche einfach weglassen und die Gleichung ganz normal lösen, da die Zahl im Betrag durch das Quadrat immer positiv ist.

(x+2)² = 2

x^2 + 4x + 4 = 2

x^2 + 4x + 2 = 0

x₁₂ = -2 ± √ (4-2) =-2 ± √2

x₁ = -2+√2     x₂ = -2-√2

 

Bei der zweiten musst du eine Fallunterscheidung machen.

Der Term in der Klammer darf entweder 2 oder -2 sein.

-x² - 2x + 1 = 2

-x² - 2x - 1 = 0

x² + 2x + 1 = 0

x₁₂ = -1 ± √ (1-1) = -1 ± √0

x₁ = -1

 

-x² - 2x + 1 = -2

-x² - 2x + 3 = 0

x² + 2x - 3 = 0

x₂₃ = -1 ± √ (1+3) = -1 ± √4 = -1 ± 2

x₂ = 1     x₃ = -3

  

 

Die dritte Aufgabe geht auch nur mit Fallunterscheidung:

Der Term in der Klammer darf entweder 6 oder -6 sein.

Also:

5-1/2x+1 = 6       ⇒ x₁ = 0

5-1/2x+1 = -6     ⇒ x₂ = 24

Comments

Hallo HGF,

 

zur 2. Aufgabe:

-x²-2x+1 ≠

(-x+1)² =

+x² - 2x + 1

 

Besten Gruß

---

Keine Ursache :-)

Answer 2

Lösen mit Quadrieren und 3. Binom:

|(x+2)²|=2|^2

(x+2)^4=4

(x+2)^4-4=0

[ (x+2)^2 +2 ]*[  (x+2)^2 -2  ]=0

1.)   (x+2)^2 +2=0  ergibt keine Lösung in ℝ

(x+2)^2=2|\( \sqrt{} \)

1.)x+2=\( \sqrt{2} \)

x₁=\( \sqrt{2} \)-2

1.)x+2=- \( \sqrt{2} \)

x₂=-\( \sqrt{2} \) - 2

Comments

Weg ohne Fallunterscheidung:

\(|5-\frac{1}{2}x+1|=6\)

\(|6-\frac{1}{2}x|=6   |^{2}\)

\((6-\frac{1}{2}x)^2=36  |\sqrt{~~} \)

1.)

\(6-\frac{1}{2}x=6  |\sqrt{~~} \)

\(x_1=0 \)

2.)

\(6-\frac{1}{2}x=-6   \)

\(x_2=24  \)

Einsetzen der Werte in die Ausgangsgleichung.