Löse/bestimme die Betragsgleichungen

Question

Hallo!

Aufgabe:

Aufgabe:es geht hier wieder um Betragsgleichungen. Habe ich richtig gerechnet. Könnte jemand einen Blick werfen?

Es gibt keine Lösung, da x=-4 nicht in der Lösungsmenge enthalten ist.

g) \( |x+1|+2=-|2 x+6|+|x+1| \)
\( x=-1, x=-\frac{6}{2}=-3, x=-1 \)
\( |2 x+6|=-2 \)
\( 1.F: x<-3 \)
\( -(2 x+6)=2 \)
\( 2 x+6=-2 \)
\( 2 x=-2-6 \Rightarrow 2 x=-8 \Rightarrow x-14 \)
\( 2. F: x>-3 \)
\( 2 x+6=-2 \Leftrightarrow 2 x=-8 \Leftrightarrow x=-4 \)

Answer 1

|x + 1| + 2 = - |2·x + 6| + |x + 1|

Nullstellen der Beträge

x + 1 = 0 → x = -1
2·x + 6 = 0 → x = -3

Daraus ergeben sich die 3 Fälle

1. Fall x ≤ -3

- (x + 1) + 2 = (2·x + 6) - (x + 1)
1 - x = x + 5
x = -2 → Nicht im Definitionsbereich dieses Falles

2. Fall -3 ≤ x ≤ -1

- (x + 1) + 2 = - (2·x + 6) - (x + 1)
1 - x = - 3·x - 7
x = -4 → Nicht im Definitionsbereich dieses Falles

3. Fall -1 ≤ x

(x + 1) + 2 = - (2·x + 6) + (x + 1)
x + 3 = - x - 5
x = -4 → Nicht im Definitionsbereich dieses Falles

Die Betragsgleichung hat demzufolge keine Lösung.

Comments

Beachte den Tipp, den ich vor 4 Stunden bereits geschrieben hatte

Was man allerdings zunächst machen könnte, ist |x + 1| auf beiden Seiten zu subtrahieren. Dann hat man etwas weniger zu tun.

|x + 1| + 2 = - |2·x + 6| + |x + 1|
2 = - |2·x + 6|
|2·x + 6| = - 2

Jetzt sieht man auch sofort, dass es keine Lösung geben kann, denn ein Betrag, kann ja nie negativ sein. Das hatte trancelocation dir aber auch bereits verraten.

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Alles klar, danke dir Mathecoach! Aber eine Frage: Warum ist bei Fall 1 der Def.bereich kleiner gleich -3? Warum nicht kleiner -3? Weil wir sind bei Fall 1 immer von "kleiner gleich" ausgegangen, also x<-3. Wäre x<-3 nicht richtig?

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Man kann in Fall 1 auch x < -3 betrachten, weil x = -3 ja bereits mit Fall 2 abgedeckt ist. Ich nehme die x = -3 in beide angrenzenden Fälle mit hinein. Das ist aber eigentlich unüblich, wie ich es mache. Generell braucht und wir x = -3 nur von einem angrenzenden Fall übernommen.

Answer 2

Du hast es dir schwer gemacht. Anstelle gleich loszurechnen, schaust du dir am besten erst einmal die Gleichung genauer an.

Insbesondere könnte es - wie im vorliegenden Fall - sein, dass du die Gleichung massiv vereinfachen kannst.

$$\begin{array}{rcl} \\ |x+1| + 2 & = & -|2x+6| + |x+1| \\  & \Leftrightarrow & \\ 2 & = & -|2x+6| \quad (1) \end{array}$$

Da die rechte Seite von (1) nichtpositiv ist, kann es keine Lösung geben.

Answer 3

Es gibt 3 Fälle:

1. -oo<x<-3

2. -3<=x<-1

3. x >=-1

1. -x-1+2 = 2x+6 -x-1

2x = -4

x= -2

...

Comments

Also so? Passt das?

1.F: \( x<-3 \Rightarrow|x+1|=-(x+1) \)
\( |2 x+6|=-(2 x+6) \)
\( |x+1|=-(x+1) \)
\( -x-1+2=2 x+6-x-4 \)
\( -2 x=4 \)
\( x=-2 \)

\( \begin{array}{l} \text { 2. Fall: }-3 \leq x<-1 \\ |x+1|=-(x+1) \\ |2 x+6|=2 x+6 \\ -x-1+2=-2 x-6-x-4 \\ 2 x=-8- \\ x=-4 \end{array} \)
3. Fall: \( x \geqslant-1 \)
\(
\begin{array}{c}
x+1+2=-2 x-6+x+1 \\
2 x=-8 \\
x=-4 \\

L={ } -> keine Lösung.

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Ich finde es unüblich in den Fällen noch Beträge zu schreiben. Man macht ja gerade die Fallunterscheidung, um die Beträge weg zu bekommen.

Was man allerdings zunächst machen könnte, ist |x + 1| auf beiden Seiten zu subtrahieren. Dann hat man etwas weniger zu tun.