Warum ist der Betrag eines Kreuzprodukts der Flächeninhalt eines Parallelogramms?

Question

Kann mir jemand simpel nahe bringen, warum man aus den Betrag des Vektors c (Kreuzprodukt von a und b) den Flächeninhalt eines Parallelogramms erhält? Ich weiss, dass der Vektor c senkrecht (orthogonal, also zu 90 Grad) auf den beiden Vektoren a und b steht. Den Flächeninhalt eines Parallelogramms berechnet man durch die Seitenlänge a und die Höhe.

Answer 1

Das Vektorprodukt ist so definiert. Vgl. https://de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt

Ein Vektor, der senkrecht auf den gegebenen Vektoren steht, mit ihnen ein Rechtssystem bildet und dessen Länge der Fläche des aufgespannten Parallelogramms entspricht. 

Entscheidend ist dabei:

|a x b| = |a| |b| sin θ

Dabei ist h_a = |b|*sin  θ  und h_b = |a|*sin  θ  . Skizze oben.