(a) Untersuchen Sie die Folgen \( \left(x_{k}\right)_{k},\left(y_{k}\right)_{k} \subseteq\left(\mathbb{R}^{3},\|\cdot\|_{2}\right) \) definiert durch \( x_{k}:=\left(\frac{\sin (k)}{k}, \arctan \left(\frac{k}{k+1}\right), \frac{k^{2}+7}{3 k^{2}-1}\right) \quad y_{k}:=\left(k e^{-k}, \frac{1}{k} \sqrt{1+k^{2}}, \cos (k \pi)\right), \quad k \in \mathbb{N} \), auf Konvergenz.
(b) Es seien \( X:=C([-1,1]) \) und \( \|f\|_{1}:=\int \limits_{-1}^{1}|f(t)| \mathrm{d} t \) für \( f \in X \). Zeigen Sie, dass \( \left(X,\|\cdot\|_{1}\right) \) kein Banachraum ist.
Hinweis: Betrachten Sie die Funktionenfolge \( \left(f_{n}\right)_{n \geq 1} \) definiert durch
\( f_{n}:[-1,1] \rightarrow \mathbb{R}, \quad f_{n}(x):=\left\{\begin{array}{ll} 1, & \text { für } x \in(1 / n, 1], \\ n x & \text { für } x \in[-1 / n, 1 / n], \\ -1 & \text { für } x \in[-1,-1 / n) . \end{array}\right. \)
Wie berechnet man das?
