Gewinnwahrscheinlichkeiten Würfelspiel

Question

Aufgabe:

Bei einem Würfelspiel wird der Würfel n-mal geworfen und man gewinnt, wenn dabei alle
Zahlen 1, . . . , 6 mindestens einmal auftreten.
Wie groß muss n mindestens gewählt werden, damit die Gewinnwahrscheinlichkeit
positiv ist? Welchen Wert nimmt sie dann an?
Wie groß darf die Bank n maximal wählen, damit sie eine höhere Gewinnwahrscheinlichkeit als der Spieler hat? Welchen Wert hat die Gewinnwahrscheinlichkeit dann?

Problem/Ansatz:

Also ich habe für die erste Frage herausgefunden, dass man 14,7 Würfe braucht um alle Zahlen einmal geworfen zu haben.

Heißt das, dass n=15 sein muss, dass die Gewinnwahrscheinlichkeit positiv ist. Und dass die Bank n maximal gleich 14 erlauben darf, um die höhere Wahrscheinlichkeit zu haben? Und wie berechnet man diesen Gewinnwahrscheinlichkeitswert, nach dem hier gefragt ist?

Comments

damit die Gewinnwahrscheinlichkeit
positiv ist?

Was meinst du damit?

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Dass die Wahrscheinlichkeit echt größer 0 ist. Aber ich verstehe das hier im Kontext auch nicht so ganz. Weil eigentlich ist die Wahrscheinlichkeit ab dem sechsten Wurf ja schon größer null, da man rein theoretisch ja alle sechs Zahlen sofort würfeln könnte.

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Die WKT für die Zahlen in 6 Würfen ist (1/6)^6* 6!

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warum mal 6!? Gibt es nicht 6^6 Möglichkeiten insgesamt, wenn man sechs mal hintereinander würfelt?

nvm, ich komme auf das gleiche mit günstig durch möglich. :D danke dir!

Muss man beim zwieten dann einfach schauen, wann es noch unter 50% ist?

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warum mal 6!?

Wegen der Reihenfolgen:
123456
132456
usw.

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Ja, das hatte ich auch vergessen. :)

Ist die zweite Frage, wie hoch n gewählt sein darf, damit die Bank die höhere Wkt hat dann einfach:

(6! * 6n) / 6^n < 0,5.

Also quasi unten die insgesamte Anzahl an Möglichkeiten für n Würfe. Und oben die günstigen. Also die 6 verschiedenen Zahlen und dann dazu noch beliebige Zahlen. Oder ist in der Formel ein Fehler?

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(6! * 6n) / 6^{n}

trifft doch nicht mal für die Wahrscheinlichkeiten für n = 1 bis 6 zu. Gibt es daher einen Grund anzunehmen, warum die Formel plötzlich für alle anderen Werte von n richtige Ergebnisse liefern sollte?

Answer 1

Bei einem Würfelspiel wird der Würfel n-mal geworfen und man gewinnt, wenn dabei alle Zahlen 1, . . . , 6 mindestens einmal auftreten.

Wie groß muss n mindestens gewählt werden, damit die Gewinnwahrscheinlichkeit positiv ist?

n = 6

Welchen Wert nimmt sie dann an?

P = 6!/6^6 = 5/324

Wie groß darf die Bank n maximal wählen, damit sie eine höhere Gewinnwahrscheinlichkeit als der Spieler hat? Welchen Wert hat die Gewinnwahrscheinlichkeit dann?

n = 12

P = 0.4378