Wahrscheinlichkeit beim Würfelspiel?

Question

Aufgabe:

Bei einem Würfelspiel mit 2 Würfeln gewinnt man beim 1. Wurf sofort, wenn man eine 7 oder 11 würfelt. Man verliert sofort, wen man eine 2, 3 oder 12 würfelt.

Für alle anderen Zahlen gilt: Man merkt sich die gewürfelte Augensumme und würfelt weiter. Bekommt man die Augensumme erneut, gewinnt man, würfelt man eine 7, so verliert man.

Nun soll nachgewiesen werden, dass die Wahrscheinlichkeit, nach der 2. Runde das Spiel noch immer nicht zu beenden, bei 25/36 liegt. Voraussetzung: In der ersten Runde wurde eine 6 oder eine 8 geworfen.

Problem/Ansatz:

Ich komme beim besten Willen nicht auf die 25/36...

Idee 1:

Die 2. Runde ist beendet, wenn:

- eine 6 gewürfelt wird, p(6) = 5/36

- eine 8 gewürfelt wird, p(8) = 5/36

- eine 7 gewürfelt wird, p(7) = 6/36

Damit wäre das Spiel mit einer Wahrscheinlichkeit von 16/36 beendet. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 20/36 ist es dann also nicht beendet.

Was habe ich übersehen??

Answer 1

Die 2. Runde ist beendet, wenn:

Die 2. Runde ist beendet, wenn das zweite mal gewürfelt wurde.

- eine 6 gewürfelt wird, p(6) = 5/36

Dann ist das Spiel aber noch nicht unbedingt beendet.

Das Spiel ist bei einer 6 im zweiten Wurf nur dann beendet, wenn im ersten Wurf ebenfalls eine 6 gewürfelt wurde. Die Wahrscheinlichkeit beträgt also

        P(6 im ersten | 6 oder 8 im ersten) · P(6 im zweiten)
        = 1/2 · 5/36

Gleiches gilt für 8 im zweiten Wurf.

Insgesamt ist das Spiel mit einer Wahrscheinlichkeit von

        1/2 · 5/36 + 1/2 · 5/36 + 6/36

nach zwei Würfen beendet, wenn im ersten Wurf eine 6 oder eine 8 geworfen wurde.

Comments

Danke, ich hatte wirklich völlig falsch gedacht!

Answer 2

Ich hätte das geringfügig anders gemacht

P(Nach spätestens 2 Runden beendet | Erster Wurf eine 6 oder 8)
= P((6, 7), (8, 7), (6, 6), (8, 8)) / P((6, x), (8, x))
= ((5 + 5)/36·6/36 + (5/36)^2 + (5/36)^2)/(5/36 + 5/36) = 11/36

P(Nicht nach 2 Runden beendet | Erster Wurf eine 6 oder 8)
= 1 - 11/36 = 25/36

Comments

Danke, auch eine Möglichkeit! Ich werde mal beide Lösungswege aufschreiben, schaden kann's nicht!

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Hast du die Lösung von oswald wirklich verstanden und nachvollziehen können?

Ich sehe zumindest nicht, wo er benutzt, dass das Spiel bei einer 7 im zweiten Wurf beendet wird.

Also ich verstehe es also momentan nicht wirklich. Deswegen hab ich das mal selber gemacht, wie ich es nachvollziehen kann und selber auch verstehe.