Aloha :)
Zuerst musst du den Nenner in Linearfaktoren zerlegen. Als erstes kann man \((-x)\) ausklammern und erkennt dann, dass eine binomische Formel dritten Grades übrig bleibt:$$\phantom{=}-x^4+12x^3-48x^2+64x=(-x)(x^3-12x^2+48x-64)$$$$=(-x)(\underbrace{x^3}_{=a^3}-\underbrace{3\cdot x^2\cdot4}_{=3a^2b}+\underbrace{3\cdot x\cdot 4^2}_{=3ab^2}-\underbrace{4^3}_{b^3})=(-x)\cdot(\underbrace{x}_{=a}-\underbrace{4}_{=b})^3$$Daraus ergibt sich folgende Zerlegung:
$$f(x)=\frac{x^2+64}{(-x)(x-4)^3}=\frac{-x^2-64}{x\cdot(x-4)^3}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-4}+\frac{C}{(x-4)^2}+\frac{D}{(x-4)^3}$$Die Werte für \(A\) und \(D\) können wir sofort bestimmen:$$A=\left.\frac{-x^2-64}{\cancel{x}\cdot(x-4)^3}\right|_{x=0}=\frac{-64}{-64}=1$$$$D=\left.\frac{-x^2-64}{x\cdot\cancel{(x-4)^3}}\right|_{x=4}=\frac{-80}{4}=-20$$
Wir setzen \(A\) und \(D\) in unsere Zerlegung ein und formen etwas um:$$\frac{-x^2-64}{x\cdot(x-4)^3}=\frac{1}{x}+\frac{B}{x-4}+\frac{C}{(x-4)^2}-\frac{20}{(x-4)^3}$$$$\frac{1}{x}+\frac{B}{x-4}+\frac{C}{(x-4)^2}=\frac{-x^2-64}{x\cdot(x-4)^3}+\frac{20x}{x\cdot(x-4)^3}=\frac{-(x-4)(x-16)}{x\cdot(x-4)^3}=\frac{-(x-16)}{x\cdot(x-4)^2}$$$$C=\left.\frac{-(x-16)}{x\cdot\cancel{(x-4)^2}}\right|_{x=4}=\frac{12}{4}=3$$
Wir setzen \(C\) in unsere Zerlegung ein und formen wieder um:$$\frac{1}{x}+\frac{B}{x-4}+\frac{3}{(x-4)^2}=\frac{-(x-16)}{x\cdot(x-4)^2}$$$$\frac{1}{x}+\frac{B}{x-4}=\frac{-(x-16)}{x\cdot(x-4)^2}-\frac{3x}{x\cdot(x-4)^2}=\frac{-4x+16}{x\cdot(x-4)^2}=\frac{-4(x-4)}{x\cdot(x-4)^2}=\frac{-4}{x\cdot(x-4)}$$$$B=\left.\frac{-4}{x\cdot\cancel{(x-4)}}\right|_{x=4}=\frac{-4}{4}=-1$$
Damit haben wir folgende Partialbruchzerlegung ermittelt:$$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x-4}+\frac{3}{(x-4)^2}-\frac{20}{(x-4)^3}$$Das zugehörige Integral kannst du nun sofort hinschreiben:$$\int f(x)\,dx=\ln|x|-\ln|x-4|-\frac{3}{x-4}+\frac{10}{(x-4)^2}+\text{const}$$Das kannst du noch zusammenfassen:$$\int f(x)\,dx=\ln\left|\frac{x}{x-4}\right|+\frac{22-3x}{(x-4)^2}+\text{const}$$
