Zeigen Sie, dass (p0, p1, ... , pn) eine Basis von V ist

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Hallo!

Ich hoffe mir kann hier jemand behilflich sein. Und zwar weiß ich nicht genau wie ich hier vorgehen muss. Allerdings weiß ich, dass zumindest zwei Bedingungen erfüllt sein müssen:

(1) Lineare Unabhängigkeit der Vektoren
(2) Beliebiger Vektor mittels Basiselemente als Linearkombination darstellbar.

Zur Lineare Unabhängigkeit hätte ich einen kleinen Ansatz:

0 = λ1 * x1 + .... λn * x^n

Aber leider weiß ich ab hier nicht mehr weiter...

Answer 1

\(p(x)=\lambda_0+\lambda_1x+\cdots+\lambda_nx^n=0\;\forall x\in\mathbb{R}\)

hat zur Folge, dass das Polynom \(p\) unendlich viele verschiedene Nullstellen

hat. Da ein Polynom ungleich dem Nullpolynom aber nur max. so viele Nullstellen

hat, wie sein Grad ist, muss \(p\) das Nullpolynom sein, d.h.

die Monome \(1,x,\cdots,x^n\) sind linear unabhängig.

Comments

Aber wie kann ich das nun am besten zeigen?

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Aber wie kann ich das nun am besten zeigen?

Was meinst du mit "das" ?

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Ich muss doch irgendwie zeigen, dass (p0, p1, ... , pn) eine Basis von V ist. Das heißt ich nehme an, dass ein Beweis hier erforderlich ist, nicht? Oder ist die Aussage von Dir oben schon ausreichend?

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Dass es sich um ein Erzeugendensystem handelt, dürfte wohl

selbstverständlich sein; denn jedes Polynom ist ja eine

Linearkombination von Monomen. Also muss man nur noch

zeigen, dass die Monome linear unabhängig sind,

und genau das zeige ich mit meinem Beitrag.

Ich folgere ja, dass p das Nullpolynom sein muss, d.h.

\(\lambda_0=\lambda_1=\cdots = \lambda_n=0\).

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Alles klar, muss wohl das ganze nochmals durchgehen. Vielen Dank! :)

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Ich hätte noch eine kurze Frage:

Wie genau zeige ich das? Unsere Basis hat ja die Länge n+1, nicht? Also kann doch die Dimension von V auch nicht unendlich sein, oder?

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Wenn du etwas genauer hinschaust, siehst du, dass

hier \(...,p_n,...\) steht, gemeint ist für beliebiges \(n\);

denn beachte die Punkte hinter dem letzten Komma,

die ja "usw." bedeuten.

also besitzt der Unterraum aller Polynome bereits eine

Dimension \(\geq n\) für alle \(n\), also die Dimension \(\infty\),

umsomehr ist daher \(\dim V=\infty\).

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Ja aber, kann man das irgendwie nicht noch anders beweisen oder argumentieren?

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was stört dich an dem Argument? Es ist doch ganz klar,

simpel und durchsichtig.

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Eigentlich stört mich gar nix an deinem Argument, weiß gerade auch nicht warum ich gejammert habe, sorry.

Ich denke es wird Zeit mich mal zu bedanken, also: Vielen lieben Dank! :-)