Zeigen Sie: Minimalpolynome

Question

Aufgabe:

Sei F ∈ EndK (V) und sei V = U1 ⊕ U2 eine F -invariante Zerle- gung von V in die direkte Summe von Unterräumen. Sei m(x) das minimal Polynom von F, m1(x) das minimal Polynom von F|U1, m2(x) das minimal Polynom von F |U2 . Zeigen Sie:

• m(x) teilt m1(x)m2(x);
• m1(x) teilt m(x) und m2(x) teilt m(x).
Zeigen Sie: sind m1(x) und m2(x) teilerfremd, so gilt m(x) = m1(x)m2(x).

Problem/Ansatz:

Huhu, könnte mir jemand bitte vielleicht behilflich sein ?

Ich bekomme noch nicht mal einen Ansatz hin :/ 

Answer 1

Zu 1.:

Hier eine (möglicherweise noch formal nicht ganz korrekte) Beweis-Skizze:

Nach Voraussetzg. ist \(V=U_1\oplus U_2\cong U_1\times U_2\).

Mit \(F_i:=F|_{U_i}\) und \(id_i=id_{U_i}\) können wir dann schreiben:

\(F=(F_1,F_2)=(F_1,id_2)\circ (id_1, F_2)\).

Wir betrachten den Einsetzungshomomorphismus \(\varphi_F:K[X]\rightarrow End(V)\)

mit \(\varphi_F(p)= p(F)\). Sind nun \(m_1,m_2\) die Minimalpolynome

von \(F_1,F_2\), so haben wir:

\((m_1m_2)(F)=m_1(F)\circ m_2(F)=(m_1(F_1),id_2)\circ(id_1,m_2(F_2))=\)

\(=(0,id_2)\circ (id_1,0)=(0\circ id_1,id_2\circ 0)=0\).

Daher liegt \(m_1m_2\) im Kern von \(\varphi_F\).

Dieses Ideal ist aber ein Hauptideal, das vom Minimalpolynom \(m\)

von \(F\) erzeugt wird, es folgt damit \(m\; | \; m_1m_2\).

Comments

Vielen Dank, das hat für den ersten Teil schon mal sehr geholfen :)