Aufgabe:
Wie ändert sich Determinante unter drei Zeilenumformungen ?
Problem/Ansatz:
Es sei A ∈ M(n, n). Die elementargeometrischen Eigenschaften der Determinante
det A = det(a(1), . . . , a(n)) als Funktion der Spalten a(1), . . . , a(n) von A sind
• det(a(1). . . . , a(n))
= − det(a(1), . . . , a(i−1), a(j), a(i+1), . . . , a(j−1), a(i), a(j+1), . . . , a(n))
• det(a(1), . . . , a(i−1), λa(i), a(i+1), . . . , a(n)) = λ det(a(1), . . . , a(n)),
• det(a(1), . . . , a(i−1), a(i) + a˜(i), a(i+1), . . . , a(n))
= det(a(1), . . . , a(n)) + det(a(1), . . . , a(i−1), a˜(i), a(i+1), . . . , a(n)
• det(e(1), . . . , e(n)) = 1
fur alle 1 ¨ ≤ i, j ≤ n. Wie ändert sich die Determinante det A unter den drei elemenataren Zeilenumformungen?
Vielen Dank im voraus 
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Aufgabe 1. (Determinanten, \( 2+3+3+(1+2) \) Punkte \( ) \)
i) Für alle \( A \in M(n, n) \) gilt \( \operatorname{det} A=\operatorname{det} A^{T} \). Rechnen Sie diese Aussage mithilfe des Laplaceschen Entwicklungssatzes für den Fall \( n=3 \) nach.
ii) Es sei \( A \in M(n, n) \). Die elementargeometrischen Eigenschaften der Determinante \( \operatorname{det} A=\operatorname{det}\left(\underline{\mathbf{a}}^{(1)}, \ldots, \underline{\mathbf{a}}^{(n)}\right) \) als Funktion der Spalten \( \underline{\mathbf{a}}^{(1)}, \ldots, \underline{\mathbf{a}}^{(n)} \) von \( A \) sind
- \( \operatorname{det}\left(\underline{\mathbf{a}}^{(1)}, \ldots, \underline{\mathbf{a}}^{(n)}\right) \) \( =-\operatorname{det}\left(\underline{\mathbf{a}}^{(1)}, \ldots, \underline{\mathbf{a}}^{(i-1)}, \underline{\mathbf{a}}^{(j)}, \underline{\mathbf{a}}^{(i+1)}, \ldots, \underline{\mathbf{a}}^{(j-1)}, \underline{\mathbf{a}}^{(i)}, \underline{\mathbf{a}}^{(j+1)}, \ldots, \underline{\mathbf{a}}^{(n)}\right) \),
- \( \operatorname{det}\left(\underline{\mathbf{a}}^{(1)}, \ldots, \underline{\mathbf{a}}^{(i-1)}, \lambda \underline{\mathbf{a}}^{(i)}, \underline{\mathbf{a}}^{(i+1)}, \ldots, \underline{\mathbf{a}}^{(n)}\right)=\lambda \operatorname{det}\left(\underline{\mathbf{a}}^{(1)}, \ldots, \underline{\mathbf{a}}^{(n)}\right) \),
- \( \operatorname{det}\left(\underline{\mathbf{a}}^{(1)}, \ldots, \underline{\mathbf{a}}^{(i-1)}, \underline{\mathbf{a}}^{(i)}+\underline{\tilde{a}}^{(i)}, \underline{\mathbf{a}}^{(i+1)}, \ldots, \underline{\mathbf{a}}^{(n)}\right) \) \( =\operatorname{det}\left(\underline{\mathbf{a}}^{(1)}, \ldots, \underline{\mathbf{a}}^{(n)}\right)+\operatorname{det}\left(\underline{\mathbf{a}}^{(1)}, \ldots, \underline{\mathbf{a}}^{(i-1)}, \underline{\tilde{a}}^{(i)}, \underline{\mathbf{a}}^{(i+1)}, \ldots, \underline{\mathbf{a}}^{(n)}\right) \),
- \( \operatorname{det}\left(\underline{\mathbf{e}}^{(1)}, \ldots, \underline{\mathbf{e}}^{(n)}\right)=1 \)
für alle \( 1 \leq i, j \leq n \). Wie ändert sich die Determinante \( \operatorname{det} A \) unter den drei elementaren Zeilenumformungen?
[Hinweis: Verwenden Sie die obigen elementargeometrischen Eigenschaften der Determinante als Funktion der Spalten und benutzen Sie das Ergebnis in Teil \( i \) ).]
