positiv-definites Skalarprodukt widerlegen.

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie, dass kein positiv-definites Skalarprodukt \(\langle\cdot \cdot \cdot\rangle\) auf \(\mathbb{R}^{2}\) existiert, für das die zugehörige Norm \(\|x\|=\sqrt{\langle x, x\rangle}\) gerade die 1-Norm ist.
Als Tipp ist die Polarisationsidentität angegeben.

Problem/Ansatz:

Ich habe mit binomischen Formeln herum probiert und mir Gedanken darüber gemacht wie ich das mit der Paralleogrammgleichung zeigen kann.

Vielen Grüße Simplex

Answer 1

Betrachte \(f(x,y)=1/2(\|x+y\|_1^2-\|x\|_1^2-\|y\|_1^2)\).

Wenn ich mich nicht verrechnet habe gilt für \(x=(1,1),\; y=(-1,1),\; \lambda=-1\):

\(f(x,\lambda y)\neq \lambda f(x,y)\). \(f\) ist also nicht bilinear.