Untersuchen sie die gegenseitige Lage der geraden

Question

Aufgabe: Thema: Gegenseitige Lage von Geraden

Untersuchen sie die gegenseitige Lage der geraden g und h. Berechnen sie gegebenenfalls die Koordinaten des Schnittpunktes S.

a) \( g:\; \vec{x}=\left(\begin{array}{l}5 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ -1\end{array}\right); h:\;\vec{x}=\left(\begin{array}{c}7 \\ 1 \\ 2\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}-6 \\ -3 \\ 3\end{array}\right) \)
b) \( g:\; \vec{x}=t \cdot\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 1\end{array}\right) ; h\;:\bar{x}=\left(\begin{array}{c}2 \\ 3 \\ 4\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ -1\end{array}\right) \)
c) \( g:\; \vec{x}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right) ; h\;: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}4 \\ 2 \\ 4\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) \)
:d) \( g:\; \vec{x}=\left(\begin{array}{l}5 \\ 5 \\ 1\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 0\end{array}\right) ; h\;: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}-5 \\ -15 \\ 1\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}-0,5 \\ 1 \\ 0\end{array}\right) \)

Problem/Ansatz:

Ich verstehe die Aufgabe nicht und weiß nicht wo ich anfangen soll, da ich auch kein Beispiel habe.

Comments

Bei c) ist der Sützvektor von g plötzlich vierdimensional.

Answer 1

a)
Die Richtungsvektoren von g und h sind linear abhängig (Faktor (-3). Die Geraden verlaufen parallel.

b)
Das GLS

(Ia): 2t = 2
(Ib): 0 = 3 + s
(Ic): 1 = 4 - s

hat keine Lösung, Geraden sind windschief.

c)
GLS:

(Ia): 0 + t = 4 + 2s
(Ib): 1 = 2 + n*s
(Ic): 1 + t = 4 + s

Aus (Ia) und (Ic) folgt s = -1, t = 2

Aus (Ib) folgt n = 1

Schnittpunkt S=(2,1,3)

Für n != 1 sind die Geraden windschief.

d)
GLS:

(Ia): 5 + t = -5 -s/2
(Ib): 5 + 2t = -15 + s
(Ic): 1 = 1

Daraus folgt s = 0, t = -10

Schnittpunkt S=(-5,-15,1)

Comments

Die Richtungsvektoren von g und h sind linear abhängig (Faktor (-3). Die Geraden verlaufen parallel.

Warum sind sie nicht identisch?

Das GLS

(Ia): 2t = 2
(Ib): 0 = 3 + s
(Ic): 1 = 4 - s

hat keine Lösung, Geraden sind windschief.

Es hätte auch bei parallelen Geraden keine Lösung.