Und was ist denn genau der Unterschied zum Banachschen Fixpunksatz?

Question

sitze verzweifelt an einer Aufgabe und könnte dringend gebrauchen:

.Beweisen Sie die folgende (vereinfachte) Variante des sogenannten Fixpunktsatzes von Brouwer : Jedes f ∈ C(I,ℝ) mit I := [−1,1] ⊂ ℝ und f(I) ⊆ I besitzt einen Fixpunkt. Dabei bezeichne f(I) das Bild von I unter f.

Weiß jemand wie man das beweisen könnte, ich habe zwar paar Ansätze aber bin mir ziemlich sicher, dass die falsch sind.

Und was ist denn genau der Unterschied zum Banachschen Fixpunksatz?

Danke im Voraus

Gruß

Comments

Hätte denn keiner eine Idee ?

Answer 1

\(f(I) \sube I\) bedeutet u.a. \(f(1) \leq 1\) und \(f(-1) \geq -1\). Daher kann man den Zwischenwertsatz auf die Funktion \(h(x)=f(x)-x\) anwenden.
Der Banachsche Fixpunktsatz mit seiner Kontraktionseigenschaft liefert darüber hinaus Eindeutigkeit des Fixpunkts.

Answer 2

Soweit ich weis, gilt der Fixpunktsatz von Brouwer nur für stetige Funktionen und es wird nur die Existenz eines Fixpunktes garantiert nicht aber die Eindeutigkeit.

Der Banachschem Fixpunktsatz gilt für beliebige Banachräume, gibt eine Konstruktionsvorschrift für den Fixpunkt und garantiert uach die Eindeutigkeit.