Sei x > 0 und (an)n≥0 rekursiv definiert durch a0 := 0, an+1 := √(x + an). Untersuchen Sie, ob (an) konvergent ist

Question

Aufgabe:

Sei x > 0 und (a_n)_n≥0 rekursiv definiert durch
a₀ := 0, a_n+1 := √(x + a_n).
Untersuchen Sie, ob (a_n) konvergent ist, und berechnen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.

Problem/Ansatz:

Ich vermute, dass man das Problem mit dem Monotoniekriterium lösen kann.
Zuerst habe ich die steigende Monotonie mit Induktion bewiesen:
IA: a₀<a₁
a₀ = 0 und a₁ = √(x + 0) = √x
Da x > 0 ist, ist √x auch > 0
Also ist a₀<a₁
IS: a_n+1= √(x + a_n) >I.V. √(x + a_n-1)
Die Folge ist somit monoton wachsend.

Nun möchte ich den Grenzwert bestimmen. Ich habe da so angefangen:

Wenn lim _{n → ∞} = a, dann ist auch lim _n+1 → ∞ = a

Dann steht bei mir lim _{n → ∞} = √(x + a_n)

Nun weiß ich nicht, wie ich weiter kommen soll.

Comments

Z.B. ist \(x+1\) eine obere Schranke der Folge \(\lbrace a_n\rbrace\), wie man per Induktion über \(n\) zeigen kann.
Die Folge ist also monoton und beschränkt und damit konvergent.
Der Grenzwert \(a\) berechnet sich wie du bereits richtig erkannt hast aus$$a=\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim_{n\to\infty}\sqrt{x+a_n}=\sqrt{x+a}\hspace{6px}\text{zu}\hspace{4px}a=\tfrac12\big(1+\sqrt{4x+1}\big).$$

Answer 1

hallo

wenn sie monoton wachsend ist, deinen Beweis kann ich so nicht einsehen, wie genau benutzt du die Ind. Vors? dan musst du noch beweisen, dass sie nach oben beschränkt ist , oder dass a_n+1-a_n<a_n-a_n-1 ist.

wenn das bewiesen ist ist lim a_n=lima_n+1=g

also g=√(x+g) daraus g.

lul

Comments

Wegen der Beschränktheit:

Dann muss man ja folgendes zeigen:

Sei ein Index N ∈ ℕ gegeben, so dass:
a_n<a_n+1 für alle n>N und sie K eine reelle obere Schranke, so dass
a_n < K für alle n >N, dann ist lim _{n →∞} a_n< K
Also lim n → ∞ √(x + a_n) < K
Ich komme jetzt aber nicht darauf wie der Beweis hier weiter geht.

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dan musst du noch beweisen, dass sie nach oben beschränkt ist

Ist die Folge aber nicht oder? Denn wenn x gegen ∞ geht, dann folgt ja auch daraus dann a_n gegen ∞ geht. Die obere Schranke gibt es doch nur für bestimmte x Werte oder?Z.B x geht gegen 0 bleibt aber größer als 0, dann ist a_n gegen 1 konvergent, bzw ist das ihre obere Schranke.
Sei x=n*(n+1) für n∈ℕ dann konvergiert a_n gegen n+1 (x=2 also konvergent gegen 2, x=6 also konvergent gegen 3, x=12 also konvergent gegen 4, x=20 also konvergent gegen 5,...)

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Hallo

der GW ist n gegen oo ,x ist eine feste reelle Zahl. damit ist die obere Schranke natürlich von x abhängig wie ja auch der GW.  auch die obere Schranke ist von x abhängig.

lul

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auch die obere Schranke ist von x abhängig.

Genau. Jedoch verstehe ich nicht ganz genau die Beweisargumentation für eine obere Schranke, bzw den Grenzwert, wenn x unbekannt ist.

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Hallo

wie man den GW bestimmt hab ich doch geschrieben, stell die für x einfach z.B 17 vor oder 1/17.

lul

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wie man den GW bestimmt hab ich doch geschrieben

Meinst du das? a_n+1-a_n<a_n-a_n-1

a_n+1 = √(x + a_n) und a_n=(a_n+1)²-x
Aber was soll a_n-1 sein?

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Hallo

eine mögliche Schranke ist 1+√x

a1<1+√x Induktion an<1+√x

an+1=\( \sqrt{x+1+√x} \)<1+√x

denn an+1< \( \sqrt{x+1+√x} \)^2=x+1+√x} <(1+√x} ^2=1+2√x+x)

Gruß lul

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Ah ok macht Sinn. Ich hätte da noch eine Frage. Wenn man sich aber entscheidet zuerst die Konvergenz nachzuweisen, muss man ja nicht noch dazu Beschränktheit mit Induktion zeigen oder? Denn jede konvergente reelle Folge ist ja beschränkt. Konvergenz ⇒ Beschränkheit.

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Hallo

wie willst du die Konvergenz nachweisen? ein Weg ist oft monoton und beschränkt. Allerdings, wenn man zeigen kann dass |an+1-an| eine Nullfolge bildet  geht das auch ist oft schwieriger .im ersten post schrieb ich wie man den GW ausrechnet, nachdem man Konvergenz bewiesen hat..

Gruß lul

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Wenn |a_n+1-a_n| eine Nullfolge bildet, muss a_n nicht notwendigerweise konvergent sein.

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Die Konvergenz kann man, wie in deinem ersten Post lul ja mit g=√(x+g) nachweisen.
Man bekommt wenn man für g umstellt dann g=1/2*√(4x+1)+1 heraus.
Man hat den Grenzwert, also auch die Konvergenz und demnach auch die Beschränktheit gezeigt. Oder muss man alles einzeln machen?

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Hallo

nochmal x ist ne Zahl du kannst dir eine feste Zahl darunter vorstellen, damit du es nicht mit einer Variablen oder "Unbekannten" verwechselst nenn es besser r. im ersten post schrieb ich . wenn Konvergenz bewiesen  ist dann

lim a_n=liman₊₁=g

also g=√(x+g) daraus g.

Wenn du dagegen die Konvergenz nicht wie hier durch monoton wachsend und nach oben beschränkt NACHGEWIESEN  hast hilft dir das ausrechnen eines f nicht denn dann gilt ja nicht lim a_n=lima_n+1 

primitives Beispiel a_n+1=a_n^2,   a0=2

konvergiert nicht

aber natürlich kannst du, falls es konvergiert ausrechnen g=g^2 mit g= 0 oder 1.

(und wenn 0<a0<1 ist konvergiert es auch . )

Also man kann zwar in g immer ausrechnen, sinn macht dieses g nur, wenn man bewiesen hat, dass die folge konvergiert.

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Achso ok.

eine mögliche Schranke ist 1+√x a1<1+√x Induktion an<1+√xan+1=\( \sqrt{x+1+√x} \)

Ich verstehe die Beweisschritte nicht ganz. Könntest du das bisschen formeller aufschreiben?

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Hallo

versuch es doch einfach selbst.

an<1+√x

was folgt daraus für a_n+1. rechne nach! (auf dem Weg musste ich einmal quadrieren

lul