Bestimmen Sie den Grenzwert (falls dieser existiert)

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie den Grenzwert (falls dieser existiert)

a)

\( \lim \limits_{x \rightarrow-\infty}\left(\frac{x+5}{x+2}\right)^{x} \)

b)

\( \lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(\frac{3 x+4}{3 x+8}\right)^{x+3} \)

Hinweis: Sie dürfen ohne Beweis, die folgende Aussage verwenden.

\( \lim \limits_{y \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{y}\right)^{y}=e \)

Problem/Ansatz:

Hallo, ich würde gerne für beide obigen Funktionen den Grenzwert bestimmen, aber leider komme ich da nicht richtig weiter. Mein Taschenrechner liefert mir nur "undefiniert", die PhotoMath App funktioniert nicht und auf recherche im Internet bin ich auch nicht schlau geworden. Was ist überhaupt mit dem Limes y -> unendlich gemeint? Kann das sein das sich diese beiden Grenzwerte nicht lösen lassen?

Vielleicht kann mir hier im Forum jemand helfen, ich komme sonst glaube ich auf keine Lösung.

Danke

Grüße Heinz

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

$$\phantom{=}\lim\limits_{x\to-\infty}\left(\frac{x+5}{x+2}\right)^x=\lim\limits_{x\to\infty}\left(\frac{-x+5}{-x+2}\right)^{-x}=\lim\limits_{x\to\infty}\left(\frac{-x+2}{-x+5}\right)^{x}=\lim\limits_{x\to\infty}\left(\frac{x-2}{x-5}\right)^{x}$$$$=\lim\limits_{x\to\infty}\left(\frac{x-5}{x-5}+\frac{3}{x-5}\right)^{x}=\lim\limits_{x\to\infty}\left(1+\frac{3}{x-5}\right)^{x}$$$$=\lim\limits_{x\to\infty}\left(\left(1+\frac{3}{x-5}\right)^{5}\left(1+\frac{3}{x-5}\right)^{x-5}\right)$$$$=\lim\limits_{x\to\infty}\left(1+\frac{3}{x-5}\right)^{5}\cdot\lim\limits_{x\to\infty}\left(1+\frac{3}{x-5}\right)^{x-5}=1\cdot e^3=e^3$$

$$\phantom{=}\lim\limits_{x\to\infty}\left(\frac{3x+4}{3x+8}\right)^{x+3}=\lim\limits_{x\to\infty}\left(\frac{3x+8}{3x+8}-\frac{4}{3x+8}\right)^{x+3}=\lim\limits_{x\to\infty}\left(1-\frac{4}{3x+8}\right)^{x+3}$$$$=\lim\limits_{x\to\infty}\left(1-\frac{\frac43}{x+\frac83}\right)^{x+3}=\lim\limits_{x\to\infty}\left(\left(1-\frac{\frac43}{x+\frac83}\right)^{x+\frac83}\left(1-\frac{\frac43}{x+\frac83}\right)^{\frac13}\right)$$$$=\lim\limits_{x\to\infty}\left(1-\frac{\frac43}{x+\frac83}\right)^{x+\frac83}\cdot\lim\limits_{x\to\infty}\left(1-\frac{\frac43}{x+\frac83}\right)^{\frac13}=e^{-\frac43}\cdot1=\frac{1}{\sqrt[3]{e^4}}$$

Answer 2

Hallo

1. durch x kürzen, dann in die Form ((1+1/y)^y)^c bringen .

b ) erst durch 3 kürzen dann wie a

Gruß lul

Answer 3

$$\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(\frac{x+5}{x+2}\right)^x\stackrel{z=-x}{=}\lim_{z\rightarrow\infty}\left(\frac{-z+5}{-z+2}\right)^{-z}=\lim_{z\rightarrow\infty}\left(\frac{z-2}{z-5}\right)^z=\\=\lim_{z\rightarrow\infty}\left(\frac{z-5+3}{z-5}\right)^z=\lim_{z\rightarrow\infty}\left(1+\frac{3}{z-5}\right)^z$$Wir setzen \(y=(z-5)/2\), also \(z=3y+5\). Dann erhalten wir$$\lim_{y\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{y}\right)^{3y+5}=(\lim_{y\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{y}\right)^y)^3\lim_{y\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{y}\right)^5=e^3\cdot 1=e^3$$