Zeigen sie das für die Funktion ein x aus einem bestimmten Zahlenraum existiert.

Question

Hallo kann mir jemand sagen ob das stimmt was ich gemacht habe?

Am Übungsblatt steht zeigen sie das für

$$x_{0} \in [0,3] \text{ existiert, sodass } 3^{x_{0}} - 7\sqrt[3]{x_{0}+5}=0$$

$$x_{0} \in [1, infinity) \text{ existiert, sodass } \ln x_{0} = 2 cos(x_{0}^{2})$$

mindestens ein x0 existiert.

Ich habe für das erste einfach x0=2.3775990814216 erhalten. Bei b) schaut es schon anders aus, da liefert mir mein TR einige Ergebnisse

x=1.2139603798878 or x=2.2657668459562 or x=2.7078766049784 or x=3.4141842049342 or x=3.6647507242898 or x=4.2530074536799 or x=4.4251370581084 or x=4.948584834357 or x=5.0750060198266 or x=5.5565729407918 or x=5.651517670662 or x=6.1039700451819

Was passt da nicht? Oder passt das so?

Comments

Ich habe für das erste einfach x0=2.3775990814216 erhalten

Das ist wie beim Online-Versandhandel.
Manchmal bestellt man eine Ware und erhält etwas Falsches. Das sollte man dann gar nicht erst annehmen.

Answer 1

Hallo

wie findest du denn die Nullstelle sowohl bei a als auch b, dein TR rechnet das numerisch , es scheint leingewöhnlicher TR zu sein

das übliche Verfahren, nicht zum lösen das man das als Differenz schreibt und dann untersucht ob f(x) eine Nullstelle hat, dazu muss man nur einen Wert f(x)<0 und einen >0 finden und f muss stetig sein in dem Intervall, dann folgt die Nullstelle aus can Zwischenwertsatz

die Angabe  von Ergebnissen eines TR ist kein Beweis!

bei b musst du ja nur "mindestens 1 Ist" zeigen.

Gruß lul

Answer 2

\(x_{0} \in [0,3] \text{ existiert, sodass } 3^{x_{0}} - 7\sqrt[3]{x_{0}+5}=0\)

\(3^{x}  =7*\sqrt[3]{x+5}|^{3}\)

\(3^{3x}  =7^3*(x+5)\)

\(x=0\)

\(1  =7^3*5\) stimmt nicht, da \(1  <7^3*5\)

\(x=1\)

\(3^{3}   =7^3*6\) stimmt nicht, da \(3^{3}  <7^3*5\)

\(x=2\)

\(3^{6}  =7^3*7\) stimmt nicht, da \(729  <15309\)

\(x=3\)

\(3^{9}  =7^3*8\) stimmt nicht, da \(19683  >2744\)

Somit liegt zwischen \(x=2\) und \(x=3\) ein x, sodass Gleichheit existiert.