Diskrete Verteilung - Varianz und Kovarianz

Question

Aufgabe:

Es seien \( X, Y \) zwei Zufallsvariablen mit Werten in \( \{-1,1\} \) und

\( \begin{array}{l} P(X=1, Y=1)=P(X=-1, Y=-1)=\frac{1}{8} \\ P(X=1, Y=-1)=P(X=-1, Y=1)=\frac{3}{8} \end{array} \)

(i) Berechnen Sie \( \operatorname{Var}(X), \operatorname{Var}(Y) \) und \( \operatorname{Cov}(X, Y) \).

(ii) Zeigen Sie, dass für zwei beliebige diskrete Zufallsvariablen \( X, Y \) gilt

\( \operatorname{Var}(X+Y)=\operatorname{Var}(X)+2 \operatorname{Cov}(X, Y)+\operatorname{Var}(Y), \)

und berechnen Sie damit \( \operatorname{Var}(X+Y) \) für die beiden explizit gegebenen Zufallsvariablen \( X, Y \).

Problem/Ansatz:

Comments

Wie man die Variant berechnet und auch die Covarianz weiß ich, jedoch weiß ich nicht wie ich f(x) und f(y) herausfinden bei der Funktion

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Was sind das für Funktionen? Es wird nicht danach gefragt.

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Wie berechne ich sonst die Varianz und Covarianz bei dieser Aufgabe?

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Du hast geschrieben, dass Du weißt wie berechnen. Aber Du hast nicht geschrieben, was das für Funktionen sein sollen. Falls Wahrscheinlichkeitsfunktion: Die ist in der Aufgabenstellung angegeben. Es sind diskrete Verteilungen.

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Der Erwarrungswert ist ja Integral von -1 bis 1 und x*(fx) dx bzw. y*f(y) dy.

Aber was ist hier f(x) und was f(y)?

Den Erwartungswert brauche ich ja für die Varianz

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Es ist eine diskrete Verteilung. Da gibt es keine Integrale.

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Wie berechne ich dann E(X)? Oder brauche ich den nicht für V(X)?

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Du hast immer noch nicht geantwortet, was Du mit f und g meinst.

Bei diskreten Verteilungen:

Erwartungswert

Varianz

Kovarianz

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Also \( \mathrm{E}(X)=\sum \limits_{i \in I} x_{i} p_{i}=\sum \limits_{i \in I} x_{i} P\left(X=x_{i}\right) \)

Was ist da jetzt xi und pi?

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x ist der Wert, p die Wahrscheinlichkeit, i der Index

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p ist also entweder 1/8 oder 3/8?

und x 1 oder -1?

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So steht es im ersten Satz der Aufgabe.

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Habe dennoch keine Ahnung, wie man das jetzt berechnet

Answer 1

i)

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung:

	X = -1	X = 1	Summe
Y = -1	1/8	3/8	4/8
Y = 1	3/8	1/8	4/8
Summe	4/8	4/8	8/8

E[X] = -1 * 4/8 + 1 * 4/8 = 0

E[Y] = -1 * 4/8 + 1 * 4/8 = 0

V[X] = (-1 - 0)² * 4/8 + (1 - 0)² * 4/8 = 1

V[Y] = (-1 - 0)² * 4/8 + (1 - 0)² * 4/8 = 1

Cov[X,Y] = (-1 - 0) * (-1 - 0) * 1/8 + (1 - 0) * (-1 - 0) * 3/8 + (-1 - 0) * (1 - 0) * 3/8 + (1 - 0) * (1 - 0) * 1/8 = - 1/2

Comments

Vielen Dank!

Für (ii) kann ich mir für Y und Y jeweils beliebige Zahlen aussuchen und dann den Satz beweisen und am Ende Var(X+Y) berechnen?

Also z. B. X=3 und Y=4?

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Für ii) würde ich mich vertraut machen mit der Gleichung von Bienaymé.