soll man da LGS anwenden?

Question

Aufgabe:

Man bestimme die Koordinaten des Vektors \( \vec{a} \) bezüglich der Basis \( \left\{\vec{c}_{1}, \vec{c}_{2}, \vec{c}_{3}\right\} \)

(a) \( \vec{a}=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 2 \\ -2\end{array}\right)  \vec{c}_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right) \quad \vec{c}_{2}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 0\end{array}\right) \quad \vec{c}_{3}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 3 \\ 3\end{array}\right) \)

b) \( \vec{a}=\left(\begin{array}{c}1 \\ -2 \\ 0\end{array}\right) \quad \vec{c}_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) \quad \vec{c}_{2}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right) \quad \vec{c}_{3}=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right) \)

Problem/Ansatz:

soll man da LGS anwenden?

Answer 1

Aloha :)

Du kannst ein lineares Gleichungssystem lösen oder direkt die inverse Übergangsmatrix verwenden:

$$\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 2\\1 & 2 & 3\\2 & 0 & 3\end{array}\right)^{-1}\cdot\left(\begin{array}{r}-1\\2\\-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}-10\\-3\\6\end{array}\right)_{\!\!C}$$

$$\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 1\\1 & 2 & -1\\1 & 3 & 1\end{array}\right)^{-1}\cdot\left(\begin{array}{r}1\\-2\\0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}1/4\\-1/2\\5/4\end{array}\right)_{\!\!C}$$

Answer 2

(a)  Ansatz

\( \left(\begin{array}{c}-1 \\ 2 \\ -2\end{array}\right) = x\cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right)+y \cdot \left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 0\end{array}\right) +z \cdot \left(\begin{array}{l}2 \\ 3 \\ 3\end{array}\right) \)

gibt ein LGS für die Koordinaten xyz.

Answer 3

Ja genau!

Du hast die Basisvektoren c_1 bis c_3 und versuchst eine Linearkombination zu finden, die dann den Vektor a ergibt.

Entweder löst du \(Ax = b\) oder \(A^{-1}b = x\)