bilinearform sym. Matrix

Question

Aufgabe: Sei A∈R^nxn mit Bilinearform a(x,y)=x^TAy für beliebige x,y∈Rⁿ. z.Z.: Bilinearform genau dann symmetrisch, wenn A symmetrisch.
Ich weiß, dass die Bilinearform symmetrisch ist, wenn a(x,y)=a(y,x), also wenn xAy=yAx. Daraus soll ich in der Hinrichtung folgern, dass A symmetrisch sein muss (A=A^T). Weiß aber nicht wie. In der Rückrichtung hab ich leider noch keinen Ansatz.

danke fürs Helfen!

Answer 1

Weiß aber nicht wie.

Setze bei x^T A y=y^T A x für x und y die kanonischen

Basisvektoren von ℝⁿ ein.

z.B. erhältst du für e₁TAe₂  das 2.Element der 1. Zeile von A

und für  e₂TAe₁ das 1.Element der 2. Zeile von A.

Die müssen also gleich sein.  Entsprechendes mit dem

i-ten und j-ten Basisvektor zeigt:  A^T=A.