Zufallsvariable: Speichere den ersten erfolgreichen Wurf

Question

Aufgabe:

Wir werfen einen fairen 6 seitigen Würfel solange bis eine 6 fällt, werfen jedoch höchstens 12 mal.

Definiere eine geeignete Menge E, sowie eine Zufallsvariable die denjenigen Wurf in dem zum ersten mal eine 6 fällt angibt.

Problem/Ansatz:

Wie "speichere" ich den ersten Wurf in dem die 6 fällt? Meine Lösung sieht bis jetzt so aus, das in der Zufallsvariable X 12 mal über eine Indikatorfunktion summiert wird, bei einer 6 die aktuelle Iteration verrechnet wird, bei keiner 6 eine 0 verrechnet wird.

Wie sehe meine Indikatorfunktion korrekt aus? Bzw wie muss ich die Zufallsvariable wählen sodass ich nur den ersten erfolgreichen Wurf abspeichere?

LG

Answer 1

Maximal n Würfe:

Ω = {ω = (ω1,ω2,...,ωn) : ωn ∈{1,2,3,4,5,6}

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Die 6 kommt das erste mal beim k.Wurf:

Ek = {ω ∈ Ω : ω1,ω2,...,ωk-1 != 6, ωk = 6 } k = 1,...n

Die 6 kommt nie:

E0 = {ω ∈ Ω : ω1,ω2,...,ωn != 6 }

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p(Ek) = 5^k-1 * 6^n-k / 6ⁿ, k = 1, ...,n

p(E0) = 5ⁿ / 6ⁿ

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∑ p(Ek) = 1 über k = 0, ...,n