sind die Linear Abhängig und wieso?

Question

Aufgabe:

d) \( \left\{\left(\begin{array}{c}2 \\ -1 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 5\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 2\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-5 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)\right\} \)

e) \( \left\{\left(\begin{array}{l}1 \\ 3 \\ 5\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-2 \\ 0 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}3 \\ 1 \\ -1\end{array}\right)\right\} \)

f) \( \left\{\left(\begin{array}{l}6 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0 \\ 0\end{array}\right)\right\} \)

Sind die linear Abhängig?

Answer 1

d)

Unsere Lehrerin hat uns den Merksatz: n linear unabhängige Vektoren spannen einen n-dimensionalen Raum auf. Da man vier ektoren hat sollten die einen 4-Dimensionalen Raum bilden. Das geht allerdings nicht mit 3 dimensionalen Vektoren und daher sind sie linear abhängig.

e)

DET([1, -2, 3; 3, 0, 1; 5, 1, -1]) = -8 

Die Determinante ist ungleich 0 und damit bilden die 3 Vektoren einen 3-Dimensionalen Raum ist sind daher linear unabhängig.

f)

Der Nullvektor ist immer linear abhängig und damit sind die Vektoren hier linear abhängig.

Answer 2

d) 4 Stück in R^3 sind immer lin. abh. weil

die Dimension 3 ist.

e) sind lin. unabh.

f) Der Nullvektor ist schon alleine lin. abhängig