Gegeben sei die Funktion f : (0;∞) → ℝ, definiert durch f(x) = -x - ln(x).
(a) Geben Sie ein Intervall [a, b] an, in dem f eine Nullstelle ξ ∈ (a, b) besitzt. Begründen Sie!
(b) Geben Sie eine konkrete rekursiv definierte Folge (xn) an, welche gegen ξ konvergiert. Begründen Sie!
Also für Aufgabe (a) wäre ja mit Zwischenwertsatz mindestens eine Nullstelle zu zeigen. Wenn ich mir das ganze einmal Graphisch ansehe. Sehe ich eine nullstelle im Intervall 0,5 und 0,6. Also mathematisch ausgedrückt:
f(0,5) = -(0,5) - ln(0,5) = 0,193 > 0
f(0,6) = -(0,6) - ln(0,6) =-0,089 < 0
mit ZWS ⇒ ∃x ∈ (\( \frac{1}{2} \) ,\( \frac{3}{5} \) ): f(x) = 0. D.h. das mindestens eine Nullstelle im Intervall existiert. Das was auch zu zeigen war.
Für Aufgabe (b) würde ich einmal das Newton-Verfahren und seine Iterationsformel verwenden. Ich habe hier wirklich keine Ahnung ob das richtig ist... falls es hier bessere alternativen gibt, freue ich mich über jede Hilfe.
Also meine Begründung würde lauten:
Das Newton-Verfahren dient zur Annäherung an Nullstellen; durch das immer wieder neu Einsetzen des Ergebnisses in die Newton-Formel nähert man die Nachkommastellen der Nullstelle immer mehr an. Diese Art von Verfahren nennt man Iterationsverfahren.
Iterationsformel: Iterationsformel: xn+1 = xn - \( \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \) (wir sehen, das es sich um eine rekursive Folge handelt)
Wir bilden unsere Ableitung:
f(xn) = -xn - ln(xn)
f'(xn) = -1 - \( \frac{1}{x_n} \)
somit erhalten wir nach Iterationsformel eine konkret rekursiv definierte Folge xn+1 = \( \frac{-x_n-ln(x_n)}{-1-\frac{1}{x_n}} \)
da wir in Aufgabe (a) ein Intervall ermittelt haben, bietet es sich an für x0 die Mitte des Intervalls zu wählen. Demnach hätten wir für x0 = 0.55
Also x1 = x0 - \( \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} \) = 0,566 usw.
Je länger wir das Verfahren anwenden desto näher kommen wir an die Nullstelle.
Wäre das Begründung genug?
