Komponentenfunktionen und Stetigkeit

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Funktion \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) mit

\( f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll} 0 & \text { falls } x=y=0 \\ \frac{2 x^{3} y}{x^{4}+y^{4}} & \text { sonst. } \end{array}\right. \)

(a) Bestimmen Sie alle Punkte \( x \in \mathbb{R} \) bzw. \( y \in \mathbb{R} \), in denen die Komponentenfunktionen \( k_{1}, k_{2}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( k_{1}(x):=f(x, 0) \quad \) und \( \quad k_{2}(y):=f(0, y) \)
stetig sind.

(b) Untersuchen Sie die Funktion \( f \) in allen Punkten \( (x, y) \in \mathbb{R}^{2} \) auf Stetigkeit.

Problem/Ansatz:

Hallo, kann jemand diese Aufgabe mir erklären?

Comments

Was von der Aufgabenstellung willst Du denn erklärt haben?

---

Der Lösungsweg wäre hilfreich

Answer 1

f(x,0) = 0 für alle x∈ℝ und auch f(0,y)=0.

Also sind die Komponentenfunktionen als konstante Funktionen

überall stetig.

Answer 2

Zu b): Für die Funktion \(k(x):=f(x,x)\) gilt: \(k(0)=0\) und sonst \(k(x)=2\). Diese Funktion ist unstetig im Nullpunkt und deshalb ist auch f im Nullpunkt unstetig.

In allen anderen Punkten des R^2 ist f stetig, weil es die stetige Verknüpfung von elementaren stetigen Funktionen ist.