Aloha :)
Der Betrag der Determinante einer \(n\times n\)-Matrix entspricht dem \(n\)-dimensionalen Volumen, das die \(n\) Spalten- oder die \(n\) Zeilenvektoren aufspannen.
Wenn das gegebene Vektorsystem vom Rang \(3\) sein soll, muss es ein \(3\)-dimensionales Volumen aufspannen. Das heißt, die Determinante muss \(\ne0\) sein.
$$0\ne\left|\begin{array}{rrr}a & 1 & 1\\1 & 3 & 2\\3 & -2a & -3\end{array}\right|$$Wir subtrahieren die doppelte Zeile 1 von Zeile 2 und addieren die dreifache Zeile 1 zur Zeile 3. Dadurch entstehen in der letzten Spalte zwei Nullen, sodass wir die Determinante bequem nach der letzten Spalte entwickeln können:$$0\ne\left|\begin{array}{rrr}a & 1 & 1\\1-2a & 1 & 0\\3+3a & 3-2a & 0\end{array}\right|=(1-2a)(3-2a)-(3+3a)\cdot1$$$$\phantom0=3-6a-2a+4a^2-3-3a=4a^2-11a=a(4a-11)$$$$\implies\quad a\ne0\;\land\,a\ne\frac{11}{4}$$
