Aloha :)
Die Spaltenvektoren$$\vec a=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}\quad;\quad \vec b=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}\quad;\quad \vec c=\begin{pmatrix}c_1\\c_2\\c_3\end{pmatrix}$$sind genau dann paarweise orthonormal zueinander, wenn gilt:$$\vec a\cdot\vec a=1\;;\;\vec b\cdot\vec b=1\;;\;\vec c\cdot\vec c=1\quad;\quad\vec a\cdot\vec b=0\;;\;\vec a\cdot\vec c=0\;;\;\vec b\cdot\vec c=0$$
Jetzt schau dir mal folgendes Matrixprodukt an:$$\small\begin{pmatrix}\red {a_1} & \red{a_2} & \red{a_3}\\\green{b_1} & \green{b_2} & \green{b_3}\\\blue{c_1} &\blue{c_2} & \blue{c_3}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\red{a_1} & \green{b_1} & \blue{c_1}\\\red{a_2} & \green{b_2} & \blue{c_2}\\\red{a_3} & \green{b_3} & \blue{c_3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1^2+b_1^2+c_1^2 & a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3 & a_1c_1+a_2c_2+a_3c_3\\a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3 & b_1^2+b_2^2+b_3^2 & b_1c_1+b_2c_2+b_3c_3\\a_1c_1+a_2c_2+a_3c_3 & b_1c_1+b_2c_2+b_3c_3 & c_1^2+c_2^2+c_3^2\end{pmatrix}$$oder kürzer in Symbolschreibweise:$$\begin{pmatrix}\red{\vec a}\\\green{\vec b}\\\blue{\vec c}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\red{\vec a} & \green{\vec b} & \blue{\vec c}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\red{\vec a}\cdot\red{\vec a} & \red{\vec a}\cdot\green{\vec b} & \red{\vec a}\cdot\blue{\vec c}\\\green{\vec b}\cdot\red{\vec a} & \green{\vec b}\cdot\green{\vec b} & \green{\vec b}\cdot\blue{\vec c}\\\blue{\vec c}\cdot\red{\vec a} & \blue{\vec c}\cdot\green{\vec b} & \blue{\vec c}\cdot\blue{\vec c} \end{pmatrix}$$
Für orthonormale Spaltenvektoren \(\red{\vec a},\green{\vec b},\blue{\vec c}\) ergibt sich rechts die Einheitsmatrix \(\mathbf 1\). Du musst also nur die transponierte Matrix \(\mathbf A^T\) mit der Matrix \(\mathbf A\) multiplizieren und prüfen, ob das Ergebnis die Einheitsmatrix \(\mathbf 1\) ergibt:$$\mathbf A^T\cdot\mathbf A=\mathbf 1$$
Die Matrix-Multiplikation kriegst du bestimmt alleine hin ;)
