Aloha :)
$$\underbrace{\left(\begin{array}{rrr}-2 & 2 & -2\\-5 & 3 & \alpha\\1 & -2 & 1\end{array}\right)}_{\eqqcolon A}\cdot\vec x=\underbrace{\begin{pmatrix}0\\6\\\beta\end{pmatrix}}_{\eqqcolon \vec b}$$
zu a) Genau eine Lösung besitzt das Gleichungssystem, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix \(A\) ungleich \(0\) ist. Zur schnellen Berechnung der Determinante addieren wir die mittlere Spalte zur ersten und zur dritten hinzu$$\operatorname{det}A=\left|\begin{array}{rrr}-2 & 2 & -2\\-5 & 3 & \alpha\\1 & -2 & 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rrr}0 & 2 & 0\\-2 & 3 & \alpha+3\\-1 & -2 & -1\end{array}\right|=-2\cdot(2+(\alpha+3))=-2(\alpha+5)$$Für \(\alpha\ne-5\) hat das Gleichungssystem also genau eine Lösung.
Für den kritischen Fall \(\alpha=-5\) lautet das Gleichungssystem:$$\begin{array}{rrr|r|l}x & y & z & = &\text{Aktion}\\\hline-2 & 2 & -2 & 0 &+2Z_3\\-5 & 3 & -5 & 6 &-2Z_1\\1 & -2 & 1 & \beta\\\hline0 & -2 & 0 & 2\beta &\colon(-2)\\-1 & -1 & -1 & 6 &+Z_3\\1 & -2 & 1 & \beta &-Z_1\\\hline0 & 1 & 0 & -\beta &\\0 & -3 & 0 & \beta+6 &\\1 & 0 & 1 & -\beta &\end{array}$$Damit das Gleichungssystem lösbar ist, müssen alle 3 Gleichungen erfüllt sein. Die ersten beiden Gleichungen legen dafür bereits eine konkrete Bedinung an \(\beta\) fest, denn:$$y=-\beta\;\land\;-3y=\beta+6\implies3\beta=\beta+6\implies2\beta=6\implies\beta=3$$Bei allen anderen Werten von \(\beta\) widersprechen sich die beiden ersten Gleichungen und sind daher nicht zugleich erfüllbar. Damit haben wir gefunden:
$$\text{Anzahl der Lösungen}=\left\{\begin{array}{ccl}1 &\text{falls} & a\ne-5\\\infty &\text{falls} & a=5\;\land\;\beta=3\\0 &\text{falls} & a=5\;\land\;\beta\ne3\end{array}\right.$$
zu b) Die Determinante gibt das Volumen an, das ihre Spalten- oder Zeilenvektoren aufspannen. Daher brauchst du hier nur in das Ergebnis für die Determinante \(\alpha=-4\) einzusetzen. Die Determinante ist dann \((-2)\), sodass das Volumen \(=2\) VE groß ist.
(Lass dich von dem negativen Vorzeichen nicht stören, das sagt nur, dass die Vektoren ein Links- und kein Rechtssystem bilden. Für das Volumen ist nur der Betrag der Determinante entscheidend.)
