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Gegeben sei ein lineares Gleichungssystem Ax=b A \vec{x}=\vec{b} mit
A=(22253α121),b=(06β). A=\left(\begin{array}{rrr} -2 & 2 & -2 \\ -5 & 3 & \alpha \\ 1 & -2 & 1 \end{array}\right), \quad \vec{b}=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 6 \\ \beta \end{array}\right) .
(a) Für welche Parameter α,βR \alpha, \beta \in \mathbb{R} besitzt das Gleichungssystem
(i) keine Lösung (ii) genau eine Lösung (iii) unendlich viele Lösungen?

(b) Bestimmen Sie für α=4 \alpha=-4 das Volumen des durch die Spaltenvektoren der Matrix A A aufge spannten Spates.

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Aloha :)

(22253α121)Ax=(06β)b\underbrace{\left(\begin{array}{rrr}-2 & 2 & -2\\-5 & 3 & \alpha\\1 & -2 & 1\end{array}\right)}_{\eqqcolon A}\cdot\vec x=\underbrace{\begin{pmatrix}0\\6\\\beta\end{pmatrix}}_{\eqqcolon \vec b}

zu a) Genau eine Lösung besitzt das Gleichungssystem, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix AA ungleich 00 ist. Zur schnellen Berechnung der Determinante addieren wir die mittlere Spalte zur ersten und zur dritten hinzudetA=22253α121=02023α+3121=2(2+(α+3))=2(α+5)\operatorname{det}A=\left|\begin{array}{rrr}-2 & 2 & -2\\-5 & 3 & \alpha\\1 & -2 & 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rrr}0 & 2 & 0\\-2 & 3 & \alpha+3\\-1 & -2 & -1\end{array}\right|=-2\cdot(2+(\alpha+3))=-2(\alpha+5)Für α5\alpha\ne-5 hat das Gleichungssystem also genau eine Lösung.

Für den kritischen Fall α=5\alpha=-5 lautet das Gleichungssystem:xyz=Aktion2220+2Z353562Z1121β0202β ⁣ : (2)1116+Z3121βZ1010β030β+6101β\begin{array}{rrr|r|l}x & y & z & = &\text{Aktion}\\\hline-2 & 2 & -2 & 0 &+2Z_3\\-5 & 3 & -5 & 6 &-2Z_1\\1 & -2 & 1 & \beta\\\hline0 & -2 & 0 & 2\beta &\colon(-2)\\-1 & -1 & -1 & 6 &+Z_3\\1 & -2 & 1 & \beta &-Z_1\\\hline0 & 1 & 0 & -\beta &\\0 & -3 & 0 & \beta+6 &\\1 & 0 & 1 & -\beta &\end{array}Damit das Gleichungssystem lösbar ist, müssen alle 3 Gleichungen erfüllt sein. Die ersten beiden Gleichungen legen dafür bereits eine konkrete Bedinung an β\beta fest, denn:y=β    3y=β+6    3β=β+6    2β=6    β=3y=-\beta\;\land\;-3y=\beta+6\implies3\beta=\beta+6\implies2\beta=6\implies\beta=3Bei allen anderen Werten von β\beta widersprechen sich die beiden ersten Gleichungen und sind daher nicht zugleich erfüllbar. Damit haben wir gefunden:

Anzahl der Lo¨sungen={1fallsa5fallsa=5    β=30fallsa=5    β3\text{Anzahl der Lösungen}=\left\{\begin{array}{ccl}1 &\text{falls} & a\ne-5\\\infty &\text{falls} & a=5\;\land\;\beta=3\\0 &\text{falls} & a=5\;\land\;\beta\ne3\end{array}\right.

zu b) Die Determinante gibt das Volumen an, das ihre Spalten- oder Zeilenvektoren aufspannen. Daher brauchst du hier nur in das Ergebnis für die Determinante α=4\alpha=-4 einzusetzen. Die Determinante ist dann (2)(-2), sodass das Volumen =2=2 VE groß ist.

(Lass dich von dem negativen Vorzeichen nicht stören, das sagt nur, dass die Vektoren ein Links- und kein Rechtssystem bilden. Für das Volumen ist nur der Betrag der Determinante entscheidend.)

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Das Volumen ist det(A)|\det(A)|, das vorzeichenbehaftete Volumen ist det(A)\det(A).

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