Aloha :)
= : A⎝⎛−2−5123−2−2α1⎠⎞⋅x== : b⎝⎛06β⎠⎞
zu a) Genau eine Lösung besitzt das Gleichungssystem, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix A ungleich 0 ist. Zur schnellen Berechnung der Determinante addieren wir die mittlere Spalte zur ersten und zur dritten hinzudetA=∣∣∣∣∣∣∣−2−5123−2−2α1∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣0−2−123−20α+3−1∣∣∣∣∣∣∣=−2⋅(2+(α+3))=−2(α+5)Für α=−5 hat das Gleichungssystem also genau eine Lösung.
Für den kritischen Fall α=−5 lautet das Gleichungssystem:x−2−510−11001y23−2−2−1−21−30z−2−510−11001=06β2β6β−ββ+6−βAktion+2Z3−2Z1 : (−2)+Z3−Z1Damit das Gleichungssystem lösbar ist, müssen alle 3 Gleichungen erfüllt sein. Die ersten beiden Gleichungen legen dafür bereits eine konkrete Bedinung an β fest, denn:y=−β∧−3y=β+6⟹3β=β+6⟹2β=6⟹β=3Bei allen anderen Werten von β widersprechen sich die beiden ersten Gleichungen und sind daher nicht zugleich erfüllbar. Damit haben wir gefunden:
Anzahl der Lo¨sungen=⎩⎪⎨⎪⎧1∞0fallsfallsfallsa=−5a=5∧β=3a=5∧β=3
zu b) Die Determinante gibt das Volumen an, das ihre Spalten- oder Zeilenvektoren aufspannen. Daher brauchst du hier nur in das Ergebnis für die Determinante α=−4 einzusetzen. Die Determinante ist dann (−2), sodass das Volumen =2 VE groß ist.
(Lass dich von dem negativen Vorzeichen nicht stören, das sagt nur, dass die Vektoren ein Links- und kein Rechtssystem bilden. Für das Volumen ist nur der Betrag der Determinante entscheidend.)