Bestimmen Sie für \alpha=-4 das Volumen des durch die Spaltenvektoren der Matrix A aufge spannten Spates.

Question

Gegeben sei ein lineares Gleichungssystem $A \vec{x}=\vec{b}$ mit
$A=\left(\begin{array}{rrr} -2 & 2 & -2 \\ -5 & 3 & \alpha \\ 1 & -2 & 1 \end{array}\right), \quad \vec{b}=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 6 \\ \beta \end{array}\right) .$
(a) Für welche Parameter $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ besitzt das Gleichungssystem
(i) keine Lösung (ii) genau eine Lösung (iii) unendlich viele Lösungen?

(b) Bestimmen Sie für $\alpha=-4$ das Volumen des durch die Spaltenvektoren der Matrix $A$ aufge spannten Spates.

Answer 1

Aloha :)

$$\underbrace{\left(\begin{array}{rrr}-2 & 2 & -2\\-5 & 3 & \alpha\\1 & -2 & 1\end{array}\right)}_{\eqqcolon A}\cdot\vec x=\underbrace{\begin{pmatrix}0\\6\\\beta\end{pmatrix}}_{\eqqcolon \vec b}$$

zu a) Genau eine Lösung besitzt das Gleichungssystem, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix $A$ ungleich $0$ ist. Zur schnellen Berechnung der Determinante addieren wir die mittlere Spalte zur ersten und zur dritten hinzu$$\operatorname{det}A=\left|\begin{array}{rrr}-2 & 2 & -2\\-5 & 3 & \alpha\\1 & -2 & 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rrr}0 & 2 & 0\\-2 & 3 & \alpha+3\\-1 & -2 & -1\end{array}\right|=-2\cdot(2+(\alpha+3))=-2(\alpha+5)$$Für $\alpha\ne-5$ hat das Gleichungssystem also genau eine Lösung.

Für den kritischen Fall $\alpha=-5$ lautet das Gleichungssystem:$$\begin{array}{rrr|r|l}x & y & z & = &\text{Aktion}\\\hline-2 & 2 & -2 & 0 &+2Z_3\\-5 & 3 & -5 & 6 &-2Z_1\\1 & -2 & 1 & \beta\\\hline0 & -2 & 0 & 2\beta &\colon(-2)\\-1 & -1 & -1 & 6 &+Z_3\\1 & -2 & 1 & \beta &-Z_1\\\hline0 & 1 & 0 & -\beta &\\0 & -3 & 0 & \beta+6 &\\1 & 0 & 1 & -\beta &\end{array}$$Damit das Gleichungssystem lösbar ist, müssen alle 3 Gleichungen erfüllt sein. Die ersten beiden Gleichungen legen dafür bereits eine konkrete Bedinung an $\beta$ fest, denn:$$y=-\beta\;\land\;-3y=\beta+6\implies3\beta=\beta+6\implies2\beta=6\implies\beta=3$$Bei allen anderen Werten von $\beta$ widersprechen sich die beiden ersten Gleichungen und sind daher nicht zugleich erfüllbar. Damit haben wir gefunden:

$$\text{Anzahl der Lösungen}=\left\{\begin{array}{ccl}1 &\text{falls} & a\ne-5\\\infty &\text{falls} & a=5\;\land\;\beta=3\\0 &\text{falls} & a=5\;\land\;\beta\ne3\end{array}\right.$$

zu b) Die Determinante gibt das Volumen an, das ihre Spalten- oder Zeilenvektoren aufspannen. Daher brauchst du hier nur in das Ergebnis für die Determinante $\alpha=-4$ einzusetzen. Die Determinante ist dann $(-2)$, sodass das Volumen $=2$ VE groß ist.

(Lass dich von dem negativen Vorzeichen nicht stören, das sagt nur, dass die Vektoren ein Links- und kein Rechtssystem bilden. Für das Volumen ist nur der Betrag der Determinante entscheidend.)

Answer 2

Das Volumen ist $|\det(A)|$, das vorzeichenbehaftete Volumen ist $\det(A)$.