0 Daumen
258 Aufrufe

Aufgabe:


Problem/Ansatz:

Hallo kann Jemand mir bei der Aufgabe helfen, ich habe das Ergebnis in Rot geschrieben, aber der Lösungsweg kenn ich nicht.Screenshot 2024-01-09 234408.png

Text erkannt:

Aufgabe 9: Zeigen Sie, dass die Zeilen- bzw. Spaltenvektoren ein orthonormiertes Vektorsystem bilden und die Matrix daher orthogonal ist.
\( \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{rrr} 2 / \sqrt{5} & -1 / \sqrt{30} & -1 / \sqrt{6} \\ 1 / \sqrt{5} & 2 / \sqrt{30} & 2 / \sqrt{6} \\ 0 & 5 / \sqrt{30} & -1 / \sqrt{6} \end{array}\right] \)

Die Länge aller Spaltenvektoren beträgt 1 und jeder Spaltenvektor steht orthogonal auf den anderen beiden Spaltenvektoren. Die Orthogonalität kann mittels Skalarprodukt überprüft werden.

Avatar von

2 Antworten

+1 Daumen

Such die Formeln für die Länge und das Skalarprodukt raus und rechne es nach.

Du solltest dein Studium oder was auch immer du da machst schon etwas ernster nehmen. Nicht einmal mit dem Lösungshinweis kommst du auf die Idee mal etwas auszuprobieren und kopierst bei jeder Frage den gleichen dämlichen Text? Den Lösungsweg kennst du, er steht nämlich da! Du bist einfach nur faul. Du solltest zumindest erläutern, woran es scheitert, aber wer es nicht einmal versucht, hat eigentlich gar keine Antwort verdient.

Avatar von 18 k

Ich danke Ihnen für Ihr Tipp:)

Ich meine das auch echt nicht böse. Aber wenn du nicht anfängst, dich mit deinen Sachen zu beschäftigen, dann wirds schwierig. Besser ist es, wenn du konkrete Fragen stellst, wo es schief geht. Aber fang an, selbstständiger zu arbeiten und zu rechnen.

0 Daumen

Aloha :)

Die Spaltenvektoren$$\vec a=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}\quad;\quad \vec b=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}\quad;\quad \vec c=\begin{pmatrix}c_1\\c_2\\c_3\end{pmatrix}$$sind genau dann paarweise orthonormal zueinander, wenn gilt:$$\vec a\cdot\vec a=1\;;\;\vec b\cdot\vec b=1\;;\;\vec c\cdot\vec c=1\quad;\quad\vec a\cdot\vec b=0\;;\;\vec a\cdot\vec c=0\;;\;\vec b\cdot\vec c=0$$

Jetzt schau dir mal folgendes Matrixprodukt an:$$\small\begin{pmatrix}\red {a_1} & \red{a_2} & \red{a_3}\\\green{b_1} & \green{b_2} & \green{b_3}\\\blue{c_1} &\blue{c_2} & \blue{c_3}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\red{a_1} & \green{b_1} & \blue{c_1}\\\red{a_2} & \green{b_2} & \blue{c_2}\\\red{a_3} & \green{b_3} & \blue{c_3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1^2+b_1^2+c_1^2 & a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3 & a_1c_1+a_2c_2+a_3c_3\\a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3 & b_1^2+b_2^2+b_3^2 & b_1c_1+b_2c_2+b_3c_3\\a_1c_1+a_2c_2+a_3c_3 & b_1c_1+b_2c_2+b_3c_3 & c_1^2+c_2^2+c_3^2\end{pmatrix}$$oder kürzer in Symbolschreibweise:$$\begin{pmatrix}\red{\vec a}\\\green{\vec b}\\\blue{\vec c}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\red{\vec a} & \green{\vec b} & \blue{\vec c}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\red{\vec a}\cdot\red{\vec a} & \red{\vec a}\cdot\green{\vec b} & \red{\vec a}\cdot\blue{\vec c}\\\green{\vec b}\cdot\red{\vec a} & \green{\vec b}\cdot\green{\vec b} & \green{\vec b}\cdot\blue{\vec c}\\\blue{\vec c}\cdot\red{\vec a} & \blue{\vec c}\cdot\green{\vec b} & \blue{\vec c}\cdot\blue{\vec c} \end{pmatrix}$$

Für orthonormale Spaltenvektoren \(\red{\vec a},\green{\vec b},\blue{\vec c}\) ergibt sich rechts die Einheitsmatrix \(\mathbf 1\). Du musst also nur die transponierte Matrix \(\mathbf A^T\) mit der Matrix \(\mathbf A\) multiplizieren und prüfen, ob das Ergebnis die Einheitsmatrix \(\mathbf 1\) ergibt:$$\mathbf A^T\cdot\mathbf A=\mathbf 1$$

Die Matrix-Multiplikation kriegst du bestimmt alleine hin ;)

Avatar von 152 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community